2016-天津卷文-15 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与二倍角公式、余弦定理与同角三角函数关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$.已知 $a\sin 2B=\sqrt{3}b\sin A$.

(1) 求 $B$；

(2) 若 $\cos A=\frac{1}{3}$，求 $\sin C$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用正弦定理将边 $a,b$ 化为对应的正弦值 $\sin A,\sin B$，结合二倍角公式 $\sin 2B=2\sin B\cos B$ 化简，求出 $\cos B$，进而求出角 $B$。
2. 第 (2) 问：由 $\cos A=\frac{1}{3}$ 求出 $\sin A$，结合 $B$ 的值利用两角和差正弦公式求出 $\sin C=\sin (A+B)$。

✅【答案】

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$B=\pi 6；sinC=\surd 6+16$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $B$： 已知 $a\sin 2B=\sqrt{3}b\sin A$， 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$，可得 $a=2R\sin A,b=2R\sin B$。 代入已知条件得： $2R\sin A\cdot \sin 2B=\sqrt{3}(2R\sin B)\sin A$。 因为在 $△ABC$ 中 $\sin A\ne 0$，两边同除以 $2R\sin A\sin B$（利用二倍角公式 $\sin 2B=2\sin B\cos B$）： $2\sin B\cos B=\sqrt{3}\sin B⟹2\sin B\left(\cos B-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$。 因为 $\sin B\ne 0$（$B$ 为三角形内角）， 所以 $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 因为 $B\in (0,\pi )$，故 $B=\frac{\pi }{6}$（即 $30^{\circ }$）。

(2) 求 $\sin C$ 的值： 已知 $\cos A=\frac{1}{3}$，且 $A\in (0,\pi )$， 可得 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 由 (1) 知 $B=\frac{\pi }{6}$，故 $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin B=\frac{1}{2}$。 在 $△ABC$ 中，$C=\pi -(A+B)$， $\sin C=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$。 代入数据计算： $\sin C=\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2\sqrt{6}}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 正弦定理、二倍角公式、两角和公式。
2. 核心方法: 边角互化法。
3. 避坑指南：约去公因式 $\sin B$ 时必须说明 $\sin B\ne 0$，确保不丢解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形解答题的第一问标准题型。
2. 结论推广: 边角互化是解决三角形中角的关系的最核心手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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