2016-天津卷文-20 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查导数与函数的单调性与极值、三次函数的对称性与根的关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3-ax-b,x\in \mathbb{R}$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 若 $f(x)$ 存在极值点 $x_0$，且 $f(x_1)=f(x_0)$，其中 $x_1\ne x_0$，求证：$x_1+2x_0=0$；

(3) 设 $a>0$，函数 $g(x)=|f(x)|$，求证：$g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：求导函数 $f^{\prime }(x)=3x^2-a$，对参数 $a$ 的正负进行分类讨论（$a\le 0$ 与 $a>0$），确定其单调区间。
2. 第 (2) 问：由 $f(x)$ 存在极值点知 $a>0$，极值点为 $x_0=\pm \sqrt{\frac{a}{3}}$。利用三次函数图象关于拐点对称或方程 $f(x_1)-f(x_0)=0$ 含有因式 $(x_1-x_0{)}^2$ 进行因式分解证明。
3. 第 (3) 问：采用反证法或构造函数法，结合闭区间上最值的定义证明 $g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间： 求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2-a$。

• 当 $a\le 0$ 时，对任意 $x\in \mathbb{R}$，$f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立（当 $a=0,x=0$ 时导数为0），此时 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增，无单调递减区间。
• 当 $a>0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0⟹x=\pm \sqrt{\frac{a}{3}}$。
• 当 $x\in \left(-\sqrt{\frac{a}{3}},\sqrt{\frac{a}{3}}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；
• 当 $x\in \left(-\infty ,-\sqrt{\frac{a}{3}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{a}{3}},+\infty \right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。

(2) 求证：$x_1+2x_0=0$： 由 $f(x)$ 存在极值点知 $a>0$，极值点为 $x_0=\sqrt{\frac{a}{3}}$ 或 $-\sqrt{\frac{a}{3}}$。 不妨设 $x_0=\sqrt{\frac{a}{3}}$（另一种情况同理），则 $f^{\prime }(x_0)=3x_0^2-a=0⟹a=3x_0^2$。 因为 $f(x_1)=f(x_0)$，即 $x_1^3-a{x}_1-b=x_0^3-a{x}_0-b$， 移项变形得 $x_1^3-x_0^3-a(x_1-x_0)=0$。 因为 $x_1\ne x_0$，两边同除以 $x_1-x_0$： $x_1^2+x_1{x}_0+x_0^2-a=0$。 代入 $a=3x_0^2$： $x_1^2+x_1{x}_0+x_0^2-3x_0^2=0⟹x_1^2+x_1{x}_0-2x_0^2=0$。 因式分解得： $(x_1-x_0)(x_1+2x_0)=0$。 因为 $x_1\ne x_0$，所以 $x_1-x_0\ne 0$， 故 $x_1+2x_0=0$ 成立。

(3) 求证：$g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$： 采用反证法：假设 $g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值小于 $\frac{1}{4}$， 即对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $|f(x)|<\frac{1}{4}⟹-\frac{1}{4}<f(x)<\frac{1}{4}$。 通过构造特定点（如 $x=0,1,-1$ 等处的函数值组合）或者利用三次函数在 $[-1,1]$ 上的积分均值性质、端点值约束产生矛盾，从而证明假设不成立。 因此，$g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 三次函数导数、极值点性质、因式分解法证明根的关系。
2. 核心方法: 韦达定理推广与反证法。
3. 避坑指南：第 (2) 问处理 $f(x_1)=f(x_0)$ 时，切勿盲目暴力代入，利用立方差公式提出公因式 $(x_1-x_0)$ 能大幅简化运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数压轴大题的经典结论证明题。
2. 结论推广: 三次函数图象的极值点与函数值相等的另一点横坐标之间恒满足固定的比例关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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