2016-天津卷理-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的表示方法（列举法、描述法）、集合的基本运算（交集），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 已知集合 $A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{y\mid y=3x-2,x\in A\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $\{1\}$　　　　　　B. $\{4\}$　　　　　　C. $\{1,3\}$　　　　　　D. $\{1,4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析集合 B：集合 $B$ 是由函数 $y=3x-2$ 的值构成的，其中自变量 $x$ 取自集合 $A$。
2. 求出集合 B 的元素：将 $A$ 中的每一个 $x$ 值依次代入解析式计算。
3. 求交集：根据 $A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}$，提取公共元素。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求集合 B： 因为 $x\in A=\{1,2,3,4\}$，且 $y=3x-2$：

• 当 $x=1$ 时，$y=3\times 1-2=1$；
• 当 $x=2$ 时，$y=3\times 2-2=4$；
• 当 $x=3$ 时，$y=3\times 3-2=7$；
• 当 $x=4$ 时，$y=3\times 4-2=10$。 所以，集合 $B=\{1,4,7,10\}$。

2. 计算 A ∩ B： $A=\{1,2,3,4\}$， $B=\{1,4,7,10\}$。 两集合的公共元素为 $1$ 和 $4$。 故 $A\cap B=\{1,4\}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 理解集合语言：描述法 $\{y\mid y=f(x),x\in A\}$ 实质上是求函数在定义域 $A$ 上的值域。

• 细节警示：注意看清集合 $B$ 中代表元素的符号（本题是 $y$），虽然本题较简单，但在某些题目中若代表元素是 $(x,y)$，则表示点集，运算逻辑会完全不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为求 $A\cup B$，则答案为 $\{1,2,3,4,7,10\}$。
• 解题技巧：在处理这类选择题时，计算出 $B$ 的前两个元素发现是 $1,4$ 且都在 $A$ 中，而后续元素 $7,10$ 明显不在 $A$ 中，即可快速锁定答案 D。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-全国卷III文-01 单-集合
• 2017-全国卷III理-01 单-集合

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