2016-天津卷理-03 单-解三角形

本题导读

本题考查解三角形（余弦定理），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，若 $AB=\sqrt{13}$，$BC=3$，$\angle C=120^{\circ }$，则 $AC=$ ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 识别已知条件：已知两边 $c=AB=\sqrt{13}$，$a=BC=3$，以及其中一边的对角 $C=120^{\circ }$。
2. 选择公式：求解第三边 $b=AC$，最直接的工具是余弦定理。
3. 建立方程：使用公式 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
4. 计算求解：代入数值，解关于 $b$ 的一元二次方程，注意边长必须为正值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 代入余弦定理公式： 在 $△ABC$ 中，根据余弦定理： $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C$

2. 代入已知数值： 设 $AC=x$ ($x>0$)。 $(\sqrt{13}{)}^2=x^2+3^2-2\cdot x\cdot 3\cdot \cos 120^{\circ }$ $13=x^2+9-6x\cdot (-\frac{1}{2})$

3. 化简并解方程： $13=x^2+9+3x$ 整理得： $x^2+3x-4=0$ 运用十字相乘法因式分解： $(x+4)(x-1)=0$ 解得： $x_1=1,x_2=-4\text{（舍去）}$

4. 得出结论： 所以 $AC=1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 余弦定理的应用场景：
  • 已知三边求三角。
  • 已知两边及其夹角求第三边。
  • 已知两边及其中一边的对角求第三边（如本题，涉及解二次方程）。
• 易错警示：

  • $\cos 120^{\circ }=-1/2$，计算时极易丢掉负号导致结果错误。

  • 解得二次方程两个根时，务必根据几何图形的实际意义（边长为正）进行舍选。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求求 $\sin A$ 的值，应如何处理？
  • 提示：在求出 $AC=1$ 后，利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ 即可快速求得。
• 常用技巧：对于特殊的钝角（$120^{\circ },135^{\circ },150^{\circ }$），其余弦值均为负数，代入公式时常将 $-2ab\cos C$ 部分转化为加法运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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