2016-天津卷理-12 填-三角

本题导读

本题考查相交弦定理、射影定理，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 如图，$AB$ 是圆的直径，弦 $CD$ 与 $AB$ 相交于点 $E$，$BE=2AE=2$，$BD=ED$，则线段 $CE$ 的长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 已知条件分析：由 $BE=2AE=2$ 可得 $AE=1$，$BE=2$。直径 $AB=3$。
2. 利用等腰三角形：已知 $BD=ED$，过 $D$ 作 $DH\perp AB$ 于 $H$，由等腰三角形“三线合一”性质知 $H$ 是 $BE$ 的中点，从而确定 $BH,HE,AH$ 的长度。
3. 求 $DH$ 与 $DE$：利用圆中直径与垂线的关系（射影定理）求出 $DH$，再利用勾股定理求出 $DE$。
4. 求解 $CE$：最后利用相交弦定理 $CE\cdot DE=AE\cdot EB$ 代入数据求值。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算已知长度： 由 $BE=2AE=2$，得 $AE=1$。 圆的直径 $AB=AE+BE=1+2=3$。

2. 作辅助线并确定位置： 过点 $D$ 作 $DH\perp AB$ 于点 $H$。 因为 $BD=ED$，所以 $△BDE$ 是等腰三角形。 根据等腰三角形性质，$H$ 为 $BE$ 的中点。 所以 $BH=HE=\frac{1}{2}BE=1$。 从而 $AH=AE+EH=1+1=2$。

3. 利用射影定理求 $DH$： 连接 $AD,BD$。因为 $AB$ 是直径，所以 $\angle ADB=90^{\circ }$。 在 $Rt△ADB$ 中，$DH\perp AB$，由射影定理得： $D{H}^2=AH\cdot HB=2\times 1=2$。 所以 $DH=\sqrt{2}$。

4. 计算 $DE$ 的长： 在 $Rt△DHE$ 中，由勾股定理得： $DE=\sqrt{D{H}^2+H{E}^2}=\sqrt{2+1^2}=\sqrt{3}$。

5. 利用相交弦定理求 $CE$： 由相交弦定理得：$AE\cdot EB=CE\cdot ED$。 代入数据：$1\times 2=CE\times \sqrt{3}$。 解得 $CE=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

最终答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辅助线的选取：遇到“等腰三角形”或“垂直于直径的弦”时，垂足 $H$ 常是解题的逻辑中心。
• 定理综合应用：本题巧妙地将等腰三角形三线合一、直径所对圆周角为直角、射影定理以及相交弦定理串联在一起，环环相扣。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目不给出 $BD=ED$，而是给出 $\angle DEB$ 的度数，我们通常需要利用三角函数来表示 $DE$。
• 常用结论： 相交弦定理 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ 是处理圆内交点问题的核心工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

专题合集 (Series)