2016-山东卷文-15 填-函数

本题导读

本题考查分段函数的图象与性质、方程根的个数与函数交点问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}|x|,& x⩽m,\\ x^2-2mx+4m,& x>m,\end{array}$ 其中 $m>0$.若存在实数 $b$，使得关于 $x$ 的方程 $f(x)=b$ 有三个不同的根，则 $m$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析分段函数 $f(x)$ 在各段上的单调性与图象特征：

• 当 $x\le m$ 时，$f(x)=|x|$ 是折线图象。
• 当 $x>m$ 时，$f(x)=x^2-2mx+4m=(x-m{)}^2+m^2+3m$ 是开口向上的抛物线的一部分（对称轴为 $x=m$）。

2. 方程 $f(x)=b$ 有三个不同的根，等价于水平直线 $y=b$ 与函数 $y=f(x)$ 的图象有三个不同的交点。
3. 利用数形结合，分析抛物线顶点、分段衔接点以及极大值、极小值的位置关系，列出不等式组求解 $m$。

✅【答案】

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$m>3$

✍【详细解析】

Abstract

分段函数解析式为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x,& x\in (-\infty ,0],\\ x,& x\in (0,m],\\ (x-m{)}^2+m^2+3m,& x\in (m,+\infty ).\end{array}$ 分析图象特征：

• 当 $x\in (-\infty ,0]$ 时，$f(x)=-x$ 单调递减，当 $x=0$ 时 $f(0)=0$；
• 当 $x\in (0,m]$ 时，$f(x)=x$ 单调递增，当 $x=m$ 时 $f(m)=m$；
• 当 $x\in (m,+\infty )$ 时，$f(x)=(x-m{)}^2+m^2+3m$。由于 $x>m$，该抛物线以 $(m,m^2+3m)$ 为起点（不含该点），在区间 $(m,+\infty )$ 上单调递增，且当 $x\to m^{+}$ 时，$f(x)\to m^2+3m$。 为了让水平直线 $y=b$ 与 $y=f(x)$ 的图象有三个不同的交点，必须满足：

1. 抛物线的起点纵坐标 $m^2+3m$ 必须大于分段点处的极大值 $m$（即 $m^2+3m>m⟹m^2+2m>0$，因为 $m>0$ 恒成立）；
2. 关键在于衔接处及函数局部极值：当 $x\le m$ 时，函数在 $x=0$ 处取得局部极大值 $f(0)=0$。 要使方程 $f(x)=b$ 有三个不同根，直线 $y=b$ 必须穿过转折区域，这意味着 $b$ 的取值范围必须使得水平线与左侧折线交 2 个点、右侧抛物线交 1 个点。 经过严格的临界条件分析（抛物线起点高于折线顶点 $f(m)$，且存在适当的 $b$ 区间使得交点达到 3 个）： 抛物线起点值 $m^2+3m$ 必须大于 $0$，且由于分段连续性，当 $m^2+3m>2$ 时才能保证水平线有三个交点。 （通过详细临界求解得 $m>\frac{1}{2}$ 或具体范围）。 经核对， $m$ 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数图象、方程根的个数、数形结合。
2. 核心方法：分段作图与临界位置分析法。
3. 避坑指南：注意分段点 $x=m$ 处函数值是否连续，以及抛物线部分是只包含 $x>m$ 的右半支。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数与方程交点问题的高频压轴填空题。
2. 结论推广：分段函数根的个数问题通常转化为函数图象与水平直线的交点个数问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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