2016-山东卷理-03 单-频率分布直方

本题导读

本题考查频率分布直方图、频率与频数的关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 $[17.5,30]$，样本数据分组为 $[17.5,20)$，$[20,22.5)$，$[22.5,25)$，$[25,27.5)$，$[27.5,30]$.根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 ()

A. 56　　　　　　B. 60　　　　　　C. 120　　　　　　D. 140

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定组距：观察横轴，每一组的跨度（如 $20-17.5$）为 $2.5$。
2. 定位目标区间：题目要求“不少于 22.5 小时”，即区间 $[22.5,25)$，$[25,27.5)$ 和 $[27.5,30]$。
3. 计算频率：在频率分布直方图中，矩形面积 = $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}\times \text{组距}=\text{频率}$。

• 频率 = $(0.16+0.08+0.04)\times 2.5$。

4. 计算人数（频数）：频数 = 总人数 $\times$ 频率。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算目标区间的频率： 由频率分布直方图可知，自习时间不少于 22.5 小时的三个矩形的纵坐标分别为 $0.16,0.08,0.04$。 组距 $d=22.5-20=2.5$。 目标频率 $P=(0.16+0.08+0.04)\times 2.5=0.28\times 2.5=0.7$。
2. 计算频数（人数）： 样本总人数 $N=200$。 不少于 22.5 小时的人数 $n=200\times 0.7=140$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 直方图的核心：纵轴代表的是 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，而非频率本身。很多同学容易直接将纵坐标相加而忽略组距，这是最常见的错误。
• 面积即频率：牢记直方图中所有小矩形的面积之和等于 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 逆向思考：若题目已知某区间人数求纵坐标，则流程反向：频数 $\to$ 频率 $\to$ 面积 $\to$ 纵坐标。
• 中位数估算：如果要求这组数据的中位数，需要找到面积累计达到 0.5 的横坐标位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2017-北京卷文-17 解-频率分布直方图
• 2015-新课标II卷文-18 解-频率分布直方图
• 2014-北京卷文-18 解-频率分布直方图

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