2016-山东卷理-10 单-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线斜率）、两直线垂直的斜率关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 若函数 $y=f(x)$ 的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y=f(x)$ 具有 $T$ 性质.下列函数中具有 $T$ 性质的是 ()

A. $y=\sin x$　　　　B. $y=\ln x$　　　　C. $y=e^x$　　　　D. $y=x^3$

🔍【思路分析】

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1. 翻译性质：设图象上两点分别为 $(x_1,f(x_1))$ 和 $(x_2,f(x_2))$。

• 对应切线斜率分别为 $k_1=f^{\prime }(x_1)$，$k_2=f^{\prime }(x_2)$。
• 切线互相垂直 $⟺k_1\cdot k_2=-1⟺f^{\prime }(x_1)\cdot f^{\prime }(x_2)=-1$。

2. 判定条件：只要导函数 $f^{\prime }(x)$ 的值域内存在两个数，它们的乘积为 $-1$，该函数就具有 $T$ 性质。
3. 逐项分析：

• A项：$f^{\prime }(x)=\cos x$，值域为 $[-1,1]$。是否存在两数乘积为 $-1$？$1\cdot (-1)=-1$。
• B, C, D项：考查它们的导函数是否能取到负数。如果导数恒为正，则两个导数值之积不可能为 $-1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据题意，具有 $T$ 性质意味着存在 $x_1,x_2$ 使得 $f^{\prime }(x_1)\cdot f^{\prime }(x_2)=-1$。

• A项：$y=\sin x$，其导函数为 $y^{\prime }=\cos x$。 因为 $\cos x$ 的值域为 $[-1,1]$，我们可以取 $x_1=0$ 时 $y_1^{\prime }=\cos 0=1$，取 $x_2=\pi$ 时 $y_2^{\prime }=\cos \pi =-1$。 此时 $y_1^{\prime }\cdot y_2^{\prime }=1\times (-1)=-1$，满足条件。故 A 项具有 $T$ 性质。

• B项：$y=\ln x$，其导函数为 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$。 由于定义域为 $(0,+\infty )$，所以 $y^{\prime }>0$ 恒成立。 两个正数相乘不可能等于 $-1$。故 B 项不具有 $T$ 性质。

• C项：$y=e^x$，其导函数为 $y^{\prime }=e^x$。 因为 $e^x>0$ 恒成立，同理两个导数值之积不可能为 $-1$。故 C 项不具有 $T$ 性质。

• D项：$y=x^3$，其导函数为 $y^{\prime }=3x^2$。 因为 $3x^2\ge 0$ 恒成立，同理两个导数值之积不可能为 $-1$。故 D 项不具有 $T$ 性质。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心转化：几何垂直 $\to$ 斜率乘积为 $-1\to$ 导数值乘积为 $-1$。
• 导数值域的重要性：本题本质上是在考查学生对基本初等函数导函数值域的掌握。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 深化思考：若函数具有 $T$ 性质，说明其导函数必须既能取到正值也能取到负值（或者导函数值域包含 $-1$ 和 $1$ 等特定组合）。
• 变式练习：若函数为 $y=x^2$，是否具有 $T$ 性质？
• 解析：$y^{\prime }=2x$，值域为 $\mathbb{R}$。令 $2x_1\cdot 2x_2=-1$，只需 $x_1{x}_2=-\frac{1}{4}$ 即可（如取 $x_1=1,x_2=-\frac{1}{4}$）。因此二次函数也具有 $T$ 性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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