2016-山东卷理-13 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、离心率的定义与计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$).若矩形 $ABCD$ 的四个顶点在 $E$ 上，$AB,CD$ 的中点为 $E$ 的两个焦点，且 $2|AB|=3|BC|$，则 $E$ 的离心率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定顶点坐标：由于 $AB,CD$ 的中点是焦点 $(\pm c,0)$，且 $AB,CD$ 垂直于 $x$ 轴，说明 $A,B$ 的横坐标为 $-c$，$C,D$ 的横坐标为 $c$。
2. 求纵坐标（通径相关）：将 $x=c$ 代入双曲线方程，求出的 $y$ 值即为矩形顶点相对于 $x$ 轴的距离。
3. 表示边长：

• $|AB|$ 对应的是横坐标为 $c$ 时的纵坐标绝对值的两倍（即通径长 $\frac{2b^2}{a}$）。
• $|BC|$ 对应的是左右两焦点之间的距离（即焦距 $2c$）。

4. 建立等式：利用 $2|AB|=3|BC|$ 建立关于 $a,b,c$ 的方程。
5. 求解离心率：利用 $b^2=c^2-a^2$ 统一成 $a,c$ 的关系，化为关于 $e=\frac{c}{a}$ 的方程求解。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 代入焦点横坐标： 令 $x=c$，代入 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 得： $\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{y^2}{b^2}=\frac{c^2-a^2}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}$。 解得 $y=\pm \frac{b^2}{a}$。 由此可设矩形顶点 $C(c,-\frac{b^2}{a})$，$D(c,\frac{b^2}{a})$，$B(-c,-\frac{b^2}{a})$，$A(-c,\frac{b^2}{a})$。

2. 计算线段长度： $|AB|=\frac{b^2}{a}-(-\frac{b^2}{a})=\frac{2b^2}{a}$； $|BC|=c-(-c)=2c$。

3. 根据已知条件列方程： 由 $2|AB|=3|BC|$ 得： $2\cdot \frac{2b^2}{a}=3\cdot 2c⟹\frac{2b^2}{a}=3c⟹2b^2=3ac$。

4. 化简求 $e$： 将 $b^2=c^2-a^2$ 代入： $2(c^2-a^2)=3ac$。 两边同除以 $a^2$ 得： $2(\frac{c^2}{a^2}-1)=3\frac{c}{a}$。 设 $e=\frac{c}{a}$，则 $2(e^2-1)=3e$，即 $2e^2-3e-2=0$。 解方程 $(2e+1)(e-2)=0$，得 $e=2$ 或 $e=-\frac{1}{2}$（舍去）。 所以离心率 $e=2$。

故答案为 2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 通径公式：双曲线中过焦点且垂直于实轴的弦长为 $\frac{2b^2}{a}$。熟记此结论可直接写出此类题目的结果。
• 离心率构造法：求离心率通常不需要求出 $a,c$ 的具体值，只需通过几何条件构建出关于 $a,c$ 的齐次式，进而转化为 $e$ 的方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为椭圆，由于 $b^2=a^2-c^2$，最后的方程会变为 $2(1-e^2)=3e$，即 $2e^2+3e-2=0$，此时 $e=\frac{1}{2}$。
• 知识关联：矩形 $ABCD$ 的顶点在曲线上，体现了圆锥曲线的对称性（关于轴对称和关于中心对称）。

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🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线

专题合集 (Series)