2016-山东卷理-15 填-函数

本题导读

本题考查分段函数、二次函数的性质（顶点式与最值），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}|x|,& x\le m\\ x^2-2mx+4m,& x>m\end{array}$，其中 $m>0$.若存在实数 $b$，使得关于 $x$ 的方程 $f(x)=b$ 有三个不同的根，则 $m$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析函数图象：

• 第一段：$y=|x|$ ($x\le m$)。当 $x\le 0$ 时为射线 $y=-x$，当 $0<x\le m$ 时为线段 $y=x$。其最大值为 $f(m)=m$，最小值为 $f(0)=0$。
• 第二段：$y=x^2-2mx+4m$ ($x>m$)。配方得 $y=(x-m{)}^2+4m-m^2$。这是一个开口向上、对称轴为 $x=m$ 的抛物线。

2. 根的个数转化：方程 $f(x)=b$ 有三个不同的根，等价于直线 $y=b$ 与函数 $y=f(x)$ 的图象有三个交点。
3. 确定几何关系：

• 第一段函数在 $[0,m]$ 上的取值范围是 $[0,m]$。
• 第二段函数在 $(m,+\infty )$ 上的取值范围是 $(4m-m^2,+\infty )$。
• 要使直线 $y=b$ 与图象产生三个交点，抛物线的顶点纵坐标必须低于第一段函数的峰值 $m$。即 $4m-m^2<m$。

✅【答案】

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$(3,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 考察分段函数性质： 当 $x\le m$ 时，$f(x)=|x|$。其图象在 $x=m$ 处的点为 $(m,m)$。 当 $x>m$ 时，$f(x)=x^2-2mx+4m=(x-m{)}^2+4m-m^2$。其图象是顶点为 $(m,4m-m^2)$、开口向上的抛物线右侧部分。

2. 数形结合分析： 由图象可知，第一段 $y=|x|$ 在 $x\le m$ 时，对于 $b\in (0,m]$，直线 $y=b$ 恒有两个交点。 若要存在 $b$ 使得 $f(x)=b$ 有三个根，则第三个根必须落在第二段抛物线上。 因此，抛物线的最小值必须小于第一段函数在 $x=m$ 处的高度。 即：$4m-m^2<m$。

3. 解不等式： $m^2-3m>0$ $m(m-3)>0$ 因为 $m>0$，所以解得 $m>3$。

故答案为：$(3,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数形结合的威力：这类“存在性”或“根的个数”问题，画图是第一生产力。通过观察波峰和波谷的相对位置，可以迅速锁定不等关系。
• 临界点分析：本题中 $x=m$ 既是分界点也是抛物线的对称轴，这种巧合简化了计算。
• 易错点：注意 $m>0$ 的前提条件，以及区间开闭对根的个数的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要求方程恰有四个根，该函数结构需要如何调整？（提示：第一段需有波峰波谷，或抛物线开口向下）。
• 知识关联： 掌握基本初等函数的图象变换是解决高考试题中函数综合题的基础。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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