2016-江苏卷-03 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质（焦距），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{3}=1$ 的焦距是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别方程类型：方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点在 $x$ 轴上。
2. 提取基本量：直接读出 $a^2=7$，$b^2=3$。
3. 计算半焦距 $c$：在双曲线中，基本量满足关系式 $c^2=a^2+b^2$。
4. 得出焦距：焦距定义为两个焦点之间的距离，即 $2c$。

✅【答案】

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$2\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由双曲线方程 $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{3}=1$ 可知： $a^2=7$，$b^2=3$。 根据双曲线的几何性质，$c^2=a^2+b^2=7+3=10$。 解得半焦距 $c=\sqrt{10}$。 则焦距 $2c=2\sqrt{10}$。

故答案为 $2\sqrt{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式记忆：
  • 双曲线：$c^2=a^2+b^2$（$c$ 最大，形状像“勾股定理”）。
  • 椭圆：$a^2=b^2+c^2$（$a$ 最大）。
• 概念区分：注意题目问的是“焦距（$2c$）”还是“半焦距（$c$）”，这是基础题中最常见的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 图像理解： 焦距 $2c$ 代表的是双曲线左右两个焦点 $F_1(-\sqrt{10},0)$ 和 $F_2(\sqrt{10},0)$ 之间的距离。
  • 相关计算： 该双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{70}}{7}$。 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}x=\pm \frac{\sqrt{21}}{7}x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线

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