2016-江苏卷-15 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理、同角三角函数的基本关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 在 $△ABC$ 中，$AC=6$，$\cos B=\frac{4}{5}$，$C=\frac{\pi }{4}$.

(1)求 $AB$ 的长；

(2)求 $\cos (A-\frac{\pi }{6})$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：已知两角（$C$ 直接给定，$\cos B$ 可求出 $\sin B$）及其中一角的对边 $AC$，求另一角的对边 $AB$。这是典型的正弦定理应用场景。
2. 第二问：要求 $\cos (A-\frac{\pi }{6})$，需先求出 $\cos A$ 和 $\sin A$。

• 利用 $A=\pi -(B+C)$，结合两角和的余弦公式求出 $\cos A$。
• 再利用平方关系求出 $\sin A$（或直接利用两角和的正弦公式）。
• 最后代入 $\cos (A-\frac{\pi }{6})=\cos A\cos \frac{\pi }{6}+\sin A\sin \frac{\pi }{6}$ 求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）在 $△ABC$ 中，因为 $\cos B=\frac{4}{5}$，且 $0<B<\pi$， 所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-(\frac{4}{5}{)}^2}=\frac{3}{5}$。 由正弦定理 $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$ 得： $AB=\frac{AC\cdot \sin C}{\sin B}=\frac{6\times \sin \frac{\pi }{4}}{\frac{3}{5}}=\frac{6\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{5}}=5\sqrt{2}$。 所以 $AB$ 的长为 $5\sqrt{2}$。

（2）因为 $A+B+C=\pi$，所以 $A=\pi -(B+C)$。 则 $\cos A=\cos [\pi -(B+C)]=-\cos (B+C)=\sin B\sin C-\cos B\cos C$。 代入数据： $\cos A=\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{10}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$。 因为 $A$ 为三角形内角，且 $\cos A<0$，所以 $A$ 是钝角。 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-(-\frac{\sqrt{2}}{10}{)}^2}=\sqrt{\frac{98}{100}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$。 则 $\cos (A-\frac{\pi }{6})=\cos A\cos \frac{\pi }{6}+\sin A\sin \frac{\pi }{6}$ $=(-\frac{\sqrt{2}}{10})\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{7\sqrt{2}}{10}\times \frac{1}{2}$ $=\frac{-\sqrt{6}+7\sqrt{2}}{20}=\frac{7\sqrt{2}-\sqrt{6}}{20}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 正弦定理的应用：在“已知两角一边”或“已知两边及一边的对角”时，首选正弦定理。
• 诱导公式的细节：$\cos [\pi -(B+C)]$ 变号为 $-\cos (B+C)$ 是极易忽略的细节。
• 计算准确性：本题涉及较多根号运算和分式通分，最后一步合并同类项需仔细。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法对比：第二问中，求 $\cos A$ 也可以先求 $\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$，再由 $A$ 的范围确定 $\cos A$ 的值。
• 图像直观：- 知识进阶：若已知条件变为三边，则应优先考虑余弦定理来求解角度的三角函数值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

专题合集 (Series)