2016-江苏卷-19 解-导数

本题导读

本题考查指数函数的性质、利用导数研究函数的单调性与最值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 已知函数 $f(x)=a^x+b^x$ ($a>0,b>0,a\ne 1,b\ne 1$).

(1) 设 $a=2,b=\frac{1}{2}$.

① 求方程 $f(x)=2$ 的根；

② 若对于任意 $x\in \mathbb{R}$，不等式 $f(2x)\ge mf(x)-6$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值；

(2) 若 $0<a<1,b>1$，函数 $g(x)=f(x)-2$ 有且只有 1 个零点，求 $ab$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问①：直接代入 $a,b$ 的值，利用基本不等式或换元法求解。
2. 第(1)问②：换元。令 $t=2^x+2^{-x}$，注意 $t\in [2,+\infty )$。将不等式转化为关于 $t$ 的二次不等式 $t^2-mt+4\ge 0$ 在 $[2,+\infty )$ 上恒成立，利用轴迹分析法求解。
3. 第(2)问：求导分析 $g(x)$ 的变化。

• 求出 $g^{\prime }(x)=a^x\ln a+b^x\ln b$。
• 寻找导函数的零点 $x_0$，它是 $g(x)$ 的唯一极小值点。
• 若要有且仅有一个零点，则极小值必须等于 0。观察 $g(0)=a^0+b^0-2=0$，说明 0 就是那个唯一的零点，从而推导出 $x_0=0$ 的条件。

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$m\le 4$，故 $m$ 的最大值为 4

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 当 $a=2,b=\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=2^x+2^{-x}$。 ① 由 $f(x)=2$ 得 $2^x+\frac{1}{2^x}=2$。 由基本不等式知 $2^x+\frac{1}{2^x}\ge 2$，当且仅当 $2^x=\frac{1}{2^x}$ 即 $x=0$ 时取等号。 故方程的根为 $x=0$。 ② $f(2x)=2^{2x}+2^{-2x}=(2^x+2^{-x}{)}^2-2$。 设 $t=2^x+2^{-x}$，由 $2^x>0$ 知 $t\ge 2$。 原不等式化为 $t^2-2\ge mt-6$，即 $t^2-mt+4\ge 0$ 在 $t\in [2,+\infty )$ 上恒成立。 设 $h(t)=t^2-mt+4$，对称轴为 $t=\frac{m}{2}$。

• 若 $\frac{m}{2}\le 2$，即 $m\le 4$ 时，只需 $h(2)\ge 0⟹4-2m+4\ge 0⟹m\le 4$。
• 若 $\frac{m}{2}>2$，即 $m>4$ 时，只需 $\Delta =m^2-16\le 0⟹-4\le m\le 4$，与 $m>4$ 矛盾。 综上，$m\le 4$，故 $m$ 的最大值为 4。

(2) $g(x)=a^x+b^x-2$，则 $g^{\prime }(x)=a^x\ln a+b^x\ln b$。 令 $g^{\prime }(x)=0$ 得 $(\frac{b}{a}{)}^x=-\frac{\ln a}{\ln b}$。 因为 $0<a<1,b>1$，所以 $\ln a<0,\ln b>0$，故 $-\frac{\ln a}{\ln b}>0$。 由于 $\frac{b}{a}>1$，方程有唯一解 $x_0={\log }_{\frac{b}{a}}(-\frac{\ln a}{\ln b})$。

• 当 $x<x_0$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x>x_0$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 故 $g(x{)}_{\min }=g(x_0)$。 要使 $g(x)$ 只有 1 个零点，必有 $g(x_0)=0$。 又观察到 $g(0)=a^0+b^0-2=0$， 根据单调性，若 $g(x_0)=0$，由于 $x_0$ 是唯一的最小值点，则必有 $x_0=0$。 即 ${\log }_{\frac{b}{a}}(-\frac{\ln a}{\ln b})=0⟹-\frac{\ln a}{\ln b}=1⟹\ln a+\ln b=0$。 所以 $\ln (ab)=0$，即 $ab=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 换元法与范围：在处理指数结构的不等式时，换元后必须立即写出新变量的取值范围（如本题 $t\ge 2$），这是填空解答题的命门。
• 导数与零点：对于连续函数，若只有一个极值点且该极值点处函数值为 0，则该点即为唯一的零点。
• 特值观察法：在第(2)问中，敏锐发现 $g(0)=0$ 能极大简化运算，将复杂的方程求解转化为单调性验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 图形特征： $f(x)=a^x+b^x$ 在 $ab=1$ 且 $b>1$ 时，表现为类似“对勾”或“悬链线”的形状，关于 $y$ 轴对称。
• 条件变式：若题目改为 $ab>1$，则 $x_0$ 将会大于 0，此时函数的零点情况会如何变化？读者可以结合导数进一步思考。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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