2016-浙江卷文-06 单-导数

本题导读

本题考查二次函数的极值与最值、充分条件与必要条件的判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2+bx$，则“$b<0$”是“$f(f(x))$ 的最小值与 $f(x)$ 的最小值相等”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求出内层函数 $f(x)=x^2+bx$ 的最小值：其对称轴为 $x=-\frac{b}{2}$, 最小值为 $f\left(-\frac{b}{2}\right)=-\frac{b^2}{4}$。
2. 分析 $f(f(x))$ 的最小值：复合函数 $f(f(x))$ 的最小值等于 $f(x)$ 在值域内能够取到的二次函数顶点的纵坐标或由于定义域限制产生的新最值，分析 $b<0$ 是否能保证两者最小值相等，以及反之是否成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 求 $f(x)$ 的最小值： $f(x)=x^2+bx={\left(x+\frac{b}{2}\right)}^2-\frac{b^2}{4}$。 其最小值为 $f_{\min }=-\frac{b^2}{4}$，值域为 $\left[-\frac{b^2}{4},+\infty \right)$。
• 求 $f(f(x))$ 的最小值： 令 $t=f(x)$，则 $t\in \left[-\frac{b^2}{4},+\infty \right)$，复合函数为 $g(t)=t^2+bt$，对称轴为 $t=-\frac{b}{2}$。 当 $-\frac{b^2}{4}\le -\frac{b}{2}$（即 $b\le 0$ 或 $b\ge 2$）时，对称轴落入值域区间内，$g(t)$ 的最小值为 $g\left(-\frac{b}{2}\right)=-\frac{b^2}{4}=f_{\min }$； 当 $0<b<2$ 时，对称轴 $-\frac{b}{2}<-\frac{b^2}{4}$，最小值在左端点取得，为 $g\left(-\frac{b^2}{4}\right)>-\frac{b^2}{4}$，此时 $f(f(x))$ 的最小值大于 $f(x)$ 的最小值。 因此”$f(f(x))$ 的最小值等于 $f(x)$ 的最小值”等价于 $b\le 0$ 或 $b\ge 2$。
• 充要条件判定： 条件 "$b<0$" 显然是 ”$b\le 0$ 或 $b\ge 2$” 的真子集，故由 $b<0$ 必能推出结论成立（充分性成立）；但结论成立时 $b$ 还可以取 $0$ 或 $b\ge 2$，未必有 $b<0$（必要性不成立）。 故 "$b<0$" 是 ”$f(f(x))$ 最小值等于 $f(x)$ 最小值” 的充分不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 复合函数最值、二次函数性质、充要条件。
2. 核心方法: 换元法与极值点落在定义域内判定法。
3. 避坑指南：求解复合函数最值时，必须求出内层函数的值域，将其作为外层函数的定义域进行二次最值求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与逻辑用语综合创新题。
2. 结论推广: 二次函数复合的最值问题通常转化为内层函数值域上的最值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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