2016-浙江卷文-07 单-不等式

本题导读

本题考查不等式的性质与函数放缩、充分条件与必要条件的判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 满足：$f(x)\ge |x|$ 且 $f(x)\ge 2^x,x\in \mathbb{R}$. ()

A. 若 $f(a)\le |b|$，则 $a\le b$　　　　　　　　B. 若 $f(a)\le 2^b$，则 $a\le b$

C. 若 $f(a)\ge |b|$，则 $a\ge b$　　　　　　　　D. 若 $f(a)\ge 2^b$，则 $a\ge b$

🔍【思路分析】

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1. 分析已知条件：对任意实数 $x$，有 $f(x)\ge |x|$ 以及 $f(x)\ge 2^x$。
2. 逐一验证四个选项的命题真伪，通常采用特值法（举反例排除法）或逻辑不等式放缩法。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

逐一分析选项：

• 对于选项 (A)：若 $f(a)\le |b|$，由 $f(a)\ge |a|$ 只能推出 $|a|\le |b|$（即 $|a|\le f(a)\le |b|$），但 $|a|\le |b|$ 不能推出 $a\le b$。反例：取 $a=-2,b=-3$，令 $f(-2)=2$（满足 $f(-2)\ge |-2|=2$ 且 $f(-2)\ge 2^{-2}$），则 $f(-2)=2\le |-3|=3$ 成立，但 $a=-2\nleqq b=-3$。故 (A) 为假。
• 对于选项 (B)：若 $f(a)\le 2^b$，又由已知 $f(a)\ge 2^a$，得 $2^a\le f(a)\le 2^b$，即 $2^a\le 2^b$。因 $y=2^x$ 严格单调递增，故 $a\le b$。该推导仅依赖条件本身，恒成立。故 (B) 为真。
• 对于选项 (C)：若 $f(a)\ge |b|$，无法建立 $a$ 与 $b$ 的大小联系。反例：取 $a=10,b=500$，令 $f(10)=2^{10}=1024$（满足 $f(10)\ge |10|$ 且 $f(10)\ge 2^{10}$），则 $f(10)=1024\ge |500|=500$ 成立，但 $a=10\ngeqq b=500$。故 (C) 为假。
• 对于选项 (D)：若 $f(a)\ge 2^b$，同样不能推出 $a\ge b$。反例：取 $a=-5,b=2$，令 $f(-5)=|-5|=5$（满足 $f(-5)\ge |-5|$ 且 $f(-5)\ge 2^{-5}$），则 $f(-5)=5\ge 2^2=4$ 成立，但 $a=-5\ngeqq b=2$。故 (D) 为假。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 函数不等式、逻辑推理。
2. 核心方法: 特值检验法（举反例）。
3. 避坑指南：带绝对值的不等式放大缩小容易忽略正负号的影响，代入特值是排除错误选项的最快方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考逻辑推理与不等式综合选择题。
2. 结论推广: 抽象函数不等式的大小传递通常借助中间量进行桥接。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)