2016-浙江卷文-12 填-导数

本题导读

本题考查导数与函数的极值点、多项式因式分解与恒等式系数对应，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3+3x^2+1$，已知 $a\ne 0$，且 $f(x)-f(a)=(x-b)(x-a{)}^2,x\in \mathbb{R}$，则实数 $a=$ $\underline{}$，$b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(x)=x^3+3x^2+1$，求出其导函数 $f^{\prime }(x)$。
2. 利用极值点或导数与因式的关系：若 $f(x)-f(a)=(x-b)(x-a{)}^2$，说明 $x=a$ 是方程 $f(x)-f(a)=0$ 的二重根，因此 $x=a$ 必为函数 $f(x)$ 的极值点。
3. 利用导数求出 $f(x)$ 的极值点 $a$，再通过展开式系数对比或代入求出 $b$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $f(x)=x^3+3x^2+1$，求导得： $f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得极值点 $x=0$ 或 $x=-2$。 因为 $f(x)-f(a)=(x-b)(x-a{)}^2$ 恒成立，这意味着 $x=a$ 是方程 $f(x)-f(a)=0$ 的二重根， 根据导数与重根的关系， $x=a$ 必须是函数 $f(x)$ 的极值点，且 $a\ne 0$，故只能取 $a=-2$。 当 $a=-2$ 时： $f(-2)=(-2{)}^3+3(-2{)}^2+1=-8+12+1=5$。 代入原式得 $f(x)-5=x^3+3x^2-4=(x-b)(x+2{)}^2$。 展开右侧： $(x-b)(x^2+4x+4)=x^3+(4-b)x^2+(4-4b)x-4b$。 对比两边系数： $-4b=-4⟹b=1$（同时 $4-b=3⟹b=1$ 验证一致）。 故 $a=-2$，$b=1$。 故答案为 $-2$；$1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 导数与极值点、多项式恒等定理。
2. 核心方法: 重根定理（极值点处二重根）与系数对比法。
3. 避坑指南：重根性质 $f(a)=0$ 且 $f^{\prime }(a)=0$ 是处理此类多项式整除和极值问题的高效工具。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数综合填空题。
2. 结论推广: 若 $f(x)-f(a)=(x-b)(x-a{)}^n$，则 $a$ 必为函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶极值点或拐点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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