2016-浙江卷理-15 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查平面向量的数量积性质、绝对值不等式与向量模的关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$.若对任意单位向量 $\vec{e}$，均有 $|\vec{a}\cdot \vec{e}|+|\vec{b}\cdot \vec{e}|\le \sqrt{6}$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解任意性条件：条件对“任意”单位向量 $\vec{e}$ 成立，意味着我们可以通过选择特殊的 $\vec{e}$ 来获得关于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的必要条件。
2. 利用绝对值不等式放缩：根据绝对值不等式 $|x|+|y|\ge |x+y|$，我们有 $|\vec{a}\cdot \vec{e}|+|\vec{b}\cdot \vec{e}|\ge |(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{e}|$。
3. 寻找最优 $\vec{e}$：为了让左边尽可能小，右边尽可能大，我们令 $\vec{e}$ 与 $\vec{a}+\vec{b}$ 共线（即投影方向一致）。此时 $|(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{e}|=|\vec{a}+\vec{b}|$。
4. 建立模与数量积的关系：由 $|\vec{a}+\vec{b}|\le \sqrt{6}$，平方后展开即可求出 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的取值范围。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 利用放缩性质： 对于任意单位向量 $\vec{e}$，有： $|(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{e}|=|\vec{a}\cdot \vec{e}+\vec{b}\cdot \vec{e}|\le |\vec{a}\cdot \vec{e}|+|\vec{b}\cdot \vec{e}|$ 结合已知条件可得： $|(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{e}|\le \sqrt{6}$

2. 特殊化取值： 当 $\vec{a}+\vec{b}\ne \vec{0}$ 时，取单位向量 $\vec{e}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}$。 代入上式得： $\left|(\vec{a}+\vec{b})\cdot \frac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}\right|\le \sqrt{6}$ 即： $|\vec{a}+\vec{b}|\le \sqrt{6}$

3. 展开求数量积： 两边平方得： $(\vec{a}+\vec{b}{)}^2\le 6$ ${\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2\le 6$ 代入已知模长 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$： $1^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+2^2\le 6$ $1+2\vec{a}\cdot \vec{b}+4\le 6$ $2\vec{a}\cdot \vec{b}\le 1$ 解得： $\vec{a}\cdot \vec{b}\le \frac{1}{2}$

4. 结论： 当 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ 时，满足条件的 $\vec{a},\vec{b}$ 存在（如夹角为 $60^{\circ }$）。此时 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 取得最大值。

故答案为 $\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 单位向量的“探针”作用：单位向量 $\vec{e}$ 与某向量 $\vec{v}$ 的点积 $\vec{v}\cdot \vec{e}$ 代表了 $\vec{v}$ 在该方向上的投影。对所有方向投影的限制，本质上是对向量模长的限制。

• 放缩的方向性：本题利用 $|x|+|y|\ge |x+y|$ 将两个绝对值合并是破题的关键。如果反向放缩（如使用柯西不等式），虽然也能得到结果，但过程会复杂很多。

• 临界状态判断：填空题中，当不等式取等号时通常就是我们要找的最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若条件改为 $|\vec{a}\cdot \vec{e}{|}^2+|\vec{b}\cdot \vec{e}{|}^2\le k$ 对任意单位向量 $\vec{e}$ 均成立，该如何处理？
  • 提示：可采用坐标法，设 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(2\cos \theta ,2\sin \theta ),\vec{e}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，利用辅助角公式求最值。
• 二级结论：对于平面向量，若 $|\vec{a}\cdot \vec{e}|+|\vec{b}\cdot \vec{e}|\le M$ 恒成立，则该不等式等价于椭圆相关的包络性质，但在高考阶段，直接利用模的放缩是最快路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式

专题合集 (Series)