2016-浙江卷理-18 解-函数

本题导读

本题考查分段函数的概念与性质、函数最值的综合应用。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 已知 $a\ge 3$，函数 $F(x)=\min \{2|x-1|,x^2-2ax+4a-2\}$，其中 $\min (p,q)=\{\begin{array}{ll}p,& p\le q\\ q,& p>q\end{array}$.

(1)求使得等式 $F(x)=x^2-2ax+4a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围；

(2)

（i）求 $F(x)$ 的最小值 $m(a)$；

（ii）求 $F(x)$ 在 $[0,6]$ 上的最大值 $M(a)$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（解不等式）：等式成立等价于 $x^2-2ax+4a-2\le 2|x-1|$。通过对 $x\le 1$ 和 $x>1$ 分类去绝对值，转化为二次不等式组求解。
2. 第二问（最小值）：$F(x)$ 是两个函数图象的下包络线。

• 绝对值函数 $f(x)=2|x-1|$ 的最小值为 $f(1)=0$。
• 二次函数 $g(x)$ 的顶点横坐标为 $a\ge 3$，最小值为 $g(a)=-a^2+4a-2$。
• 比较两者的最小值，结合 $a$ 的范围确定整体最小值。

3. 第三问（最大值）：在闭区间 $[0,6]$ 内，观察两个函数的变化。$f(x)$ 在 $x=0,2$ 时取到局部极大值 2；$g(x)$ 在 $[0,6]$ 上是减函数。需要比较转折点及端点处的数值。

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$x$ 的取值范围是 $[2,2a]$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

等式成立即 $x^2-2ax+4a-2\le 2|x-1|$，设 $\Delta (x)=(x^2-2ax+4a-2)-2|x-1|$，只需 $\Delta (x)\le 0$。

1. 当 $x\le 1$ 时： $\Delta (x)=x^2-2ax+4a-2-2(1-x)=x^2+2(1-a)x+4a-4=(x-2)(x-(2a-2))$。 因为 $a\ge 3$，则 $2a-2\ge 4$，在 $x\le 1$ 时，$(x-2)<0$ 且 $(x-(2a-2))<0$，故 $\Delta (x)>0$，无解。
2. 当 $x>1$ 时： $\Delta (x)=x^2-2ax+4a-2-2(x-1)=x^2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a)$。 由 $(x-2)(x-2a)\le 0$ 及 $x>1$，$a\ge 3$ 可得 $2\le x\le 2a$。

综上，$x$ 的取值范围是 $[2,2a]$。

(2)（i）最小值 $m(a)$：

设 $f(x)=2|x-1|$，$g(x)=x^2-2ax+4a-2$。

• $f(x{)}_{\min }=f(1)=0$。
• $g(x{)}_{\min }=g(a)=-a^2+4a-2$（因对称轴 $x=a$）。 $F(x)$ 的最小值取决于 $g(a)$ 与 $0$ 的大小关系。 令 $-a^2+4a-2=0$，解得 $a=2+\sqrt{2}$（负值舍去）。
• 当 $3\le a\le 2+\sqrt{2}$ 时，$g(a)\ge 0$，此时 $F(x)\ge 0$，$F(1)=0$，故 $m(a)=0$。
• 当 $a>2+\sqrt{2}$ 时，$g(a)<0$，此时 $m(a)=-a^2+4a-2$。 即：$m(a)=\{\begin{array}{ll}0,& 3\le a\le 2+\sqrt{2}\\ -a^2+4a-2,& a>2+\sqrt{2}\end{array}$

(2)（ii）最大值 $M(a)$：

分析图象特征：

1. 在 $[0,2]$ 上，$F(x)\le f(x)$，且 $f(0)=2,f(1)=0,f(2)=2$。故此段最大值为 $F(2)=2$ 或 $F(0)=2$。
2. 在 $[2,6]$ 上，$F(x)$ 的变化受 $g(x)$ 支配（因为由(1)知 $[2,2a]$ 上 $g(x)\le f(x)$）。 $g(x)$ 在 $[2,6]$ 上单调递减（因轴 $x=a\ge 3$，讨论 $3\le a\le 6$ 与 $a>6$ 情况，但在 $[2,a]$ 上必减）。

• 若 $3\le a\le 4$，比较 $F(2)=2$ 与 $F(6)=g(6)=36-12a+4a-2=34-8a$。 当 $3\le a\le 4$ 时，$34-8a\ge 2$，故 $M(a)=34-8a$。
• 若 $a>4$ 时，$34-8a<2$，故 $M(a)=2$。 即：$M(a)=\{\begin{array}{ll}34-8a,& 3\le a\le 4\\ 2,& a>4\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 下包络线的物理意义：$\min \{f,g\}$ 在几何上表示取两个函数图象中靠下方的部分。最大值通常出现在两个图象的交点或原函数的顶点、端点处。
• 分段讨论的严密性：在求 $M(a)$ 时，必须意识到 $F(2)$ 是一个固定的局部极值，而 $g(6)$ 随着 $a$ 的增大而减小，临界点 $a=4$ 的寻找是得分关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将 $\min$ 改为 $\max$，最大值的求法会有什么变化？
  • 提示：$\max$ 取上包络线，最大值将倾向于在区间的两端（$x=0$ 或 $x=6$）取得。
• 常用模型：处理 $\min \{f(x),g(x)\}$ 型函数时，画出两个函数的草图能极大降低分类讨论的难度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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