2017-全国卷I文-05 单-双曲线

本题导读

考查双曲线的焦点坐标、通径（或垂直于x轴的弦长）及三角形面积的计算，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 已知 $F$ 是双曲线 $C:x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的右焦点，$P$ 是 $C$ 上一点，且 $PF$ 与 $x$ 轴垂直，点 $A$ 的坐标是 $(1,3)$. 则 $△APF$ 的面积为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线方程求出 $a^2=1,b^2=3$，进而求出焦距 $c=\sqrt{a^2+b^2}=2$，得到右焦点 $F(2,0)$。
2. 因为 $PF\perp x$ 轴，所以点 $P$ 的横坐标为 $2$。将 $x=2$ 代入双曲线方程求出点 $P$ 的纵坐标，从而确定点 $P$ 的坐标。
3. 以线段 $PF$ 作为三角形的底，点 $A$ 到直线 $PF$ 的距离作为高，利用三角形面积公式计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 可知： $a^2=1,b^2=3$，则 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$。 所以右焦点坐标为 $F(2,0)$。 因为 $PF\perp x$ 轴，所以点 $P$ 的横坐标为 $2$。 将 $x=2$ 代入双曲线方程 $2^2-\frac{y^2}{3}=1⟹4-\frac{y^2}{3}=1⟹\frac{y^2}{3}=3⟹y^2=9$， 解得 $y=\pm 3$。 因为点 $P$ 在双曲线上，且通常取第一象限或根据图形，点 $P$ 的坐标为 $(2,3)$ 或 $(2,-3)$（由于点 $A(1,3)$ 的纵坐标为 3，若取 $P(2,3)$，则底边 $PF$ 所在的直线为 $x=2$）。 此时，底边长 $|PF|=|3-0|=3$（纵坐标绝对值差）。 点 $A(1,3)$ 到直线 $PF$（即 $x=2$）的距离为高 $h=|2-1|=1$。 因此，$△APF$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}\cdot |PF|\cdot h=\frac{1}{2}\times 3\times 1=\frac{3}{2}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦点、通径及三角形面积。
2. 核心方法：坐标法直接计算底与高。
3. 避坑指南：注意底边 $PF$ 平行于 $y$ 轴时，底边长为纵坐标的差值，高为横坐标的差值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线几何性质常规题。
2. 结论推广: 垂直于坐标轴的弦长可以直接通过将横（或纵）坐标代入曲线方程求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线