2017-全国卷I理-03 单-复数

本题导读

本题考查复数的概念与性质，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 设有下面四个命题： $p_1$：若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z}\in \mathbb{R}$，则 $z\in \mathbb{R}$； $p_2$：若复数 $z$ 满足 $z^2\in \mathbb{R}$，则 $z\in \mathbb{R}$； $p_3$：若复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1{z}_2\in \mathbb{R}$，则 $z_1={\bar{z}}_2$； $p_4$：若复数 $z\in \mathbb{R}$，则 $\bar{z}\in \mathbb{R}$. 其中的真命题为 ()

A. $p_1,p_3$　　　　B. $p_1,p_4$　　　　C. $p_2,p_3$　　　　D. $p_2,p_4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $p_1$：设 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，利用复数除法将 $\frac{1}{z}$ 实数化，观察其虚部为 $0$ 时 $b$ 的取值。
2. 分析 $p_2$：寻找使 $z^2$ 为实数但 $z$ 不是实数的反例（如纯虚数）。
3. 分析 $p_3$：寻找使积为实数但两数不互为共轭的反例。
4. 分析 $p_4$：根据实数的共轭复数定义判断。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 对于 $p_1$：若 $\frac{1}{z}\in \mathbb{R}$，设 $\frac{1}{z}=k$ ($k\in \mathbb{R}$ 且 $k\ne 0$)，则 $z=\frac{1}{k}$。因为 $k$ 是实数，所以 $z$ 必为实数。$p_1$ 是真命题。 （代数法证：$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$，若其为实数，则虚部 $\frac{-b}{a^2+b^2}=0$，得 $b=0$，即 $z\in \mathbb{R}$）

对于 $p_2$：取 $z=i$（纯虚数），则 $z^2=-1\in \mathbb{R}$，但 $z=i\notin \mathbb{R}$。$p_2$ 是假命题。

对于 $p_3$：取 $z_1=1,z_2=2$，则 $z_1{z}_2=2\in \mathbb{R}$，但 $z_1\ne {\bar{z}}_2$（${\bar{z}}_2=2$）。$p_3$ 是假命题。

对于 $p_4$：若 $z\in \mathbb{R}$，设 $z=a$ ($a\in \mathbb{R}$)，则其共轭复数 $\bar{z}=a-0i=a$。显然 $\bar{z}\in \mathbb{R}$。$p_4$ 是真命题。

综上所述，真命题为 $p_1,p_4$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 实数的共轭：实数的共轭复数是其本身，虚数的共轭复数则虚部符号相反。
• 平方为实数的结论：若 $z^2\in \mathbb{R}$，则 $z$ 可能是实数，也可能是纯虚数。
• 积为实数的结论：若 $z_1{z}_2\in \mathbb{R}$，不代表它们一定互为共轭，只能说明它们的辐角之和为 $\pi$ 的整数倍（在非零情况下）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 关于 $z$ 为实数的充要条件： 在复数题目中，以下表述等价：

• $z\in \mathbb{R}$
• $z=\bar{z}$
• $\text{Im}(z)=0$

2. 易混淆结论辨析：

• 若 $z^2\ge 0$，则 $z\in \mathbb{R}$。 (真)
• 若 $z^2<0$，则 $z$ 是纯虚数。 (真)
• 若 $|z_1|=|z_2|$，则 $z_1=z_2$ 或 $z_1={\bar{z}}_2$。 (假，模相等仅代表到原点距离相等)

3. 逻辑解题技巧： 在选择题中，只要判定出 $p_2$ 为假（通过 $i^2=-1$ 极速判定），即可排除 C、D；再判定 $p_4$ 为真，即可锁定 B，从而节省分析 $p_3$ 的时间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-02 单-复数
• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数