2017-全国卷I理-12 单-数列综合

本题导读

本题考查分群数列，以及等比数列求和公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案： ()

A. 440　　　　　　B. 330　　　　　　C. 220　　　　　　D. 110

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察数列规律（分群）：

• 第一组（1项）：$1=2^0$
• 第二组（2项）：$1,2=2^0,2^1$
• 第三组（3项）：$1,2,4=2^0,2^1,2^2$
• 第 $k$ 组（$k$ 项）：$1,2,4,\dots ,2^{k-1}$

2. 求前 $k$ 组的总和：

• 第 $k$ 组内各项之和为等比数列求和：$2^k-1$。
• 前 $k$ 组的总和 $S_{\text{total\_k}}={\sum }_{i=1}^k(2^i-1)=(2^1+2^2+\cdots +2^k)-k$。
• 利用等比求和公式：$S_{\text{total\_k}}=(2^{k+1}-2)-k=2^{k+1}-(k+2)$。

3. 构造 $N$ 项和：

• 设 $N$ 项恰好落入第 $k+1$ 组的第 $m$ 项。
• 前 $N$ 项和 $S_N=(2^{k+1}-k-2)+(2^m-1)=2^{k+1}+2^m-(k+3)$。
• 目标是使 $S_N=2^p$（2 的整数幂）。

4. 满足 $N>100$ 的约束：

• 前 $k$ 组的总项数为 $\frac{k(k+1)}{2}$。若 $k=13$，项数为 91；若 $k=14$，项数为 105。故 $k$ 至少从 13 或 14 开始考虑。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 第一步：计算前 $k$ 组的完整和 第 $i$ 组的和为 $1+2+\cdots +2^{i-1}=2^i-1$。 前 $k$ 组的总项数为 $M_k=\frac{k(k+1)}{2}$。 前 $k$ 组的总和为： $S_{M_k}={\sum }_{i=1}^k(2^i-1)=\frac{2(1-2^k)}{1-2}-k=2^{k+1}-k-2$

第二步：设第 $N$ 项落在第 $k+1$ 组的第 $m$ 项 则 $N=\frac{k(k+1)}{2}+m$（其中 $1\le m\le k+1$）。 前 $N$ 项和为： $S_N=(2^{k+1}-k-2)+(2^m-1)=2^{k+1}+2^m-(k+3)$ 要使 $S_N$ 是 2 的幂次，最简便的情形是让 $-(k+3)$ 与前面的项抵消。 观察式子，若 $k+3=2^m$，则 $S_N=2^{k+1}$。

第三步：寻找满足条件的最小 $k$ 已知 $N>100$。

• 若 $k=13$，总项数 $M_{13}=91$。此时 $m$ 需满足 $k+3=2^m\Rightarrow 16=2^m$，得 $m=4$。 则 $N=91+4=95<100$（不合题意）。
• 若 $k>13$，下一个使 $k+3$ 为 2 的幂次的 $k$ 值： 令 $k+3=2^5=32$，得 $k=29$。 此时 $m=5$。 总项数 $N=\frac{29\times (29+1)}{2}+5=\frac{29\times 30}{2}+5=435+5=440$。 此时的前 $N$ 项和 $S_{440}=2^{29+1}+2^5-(29+3)=2^{30}$，确实是 2 的整数幂。

第四步：验证最小性 是否会有更小的 $k$（如 $14\le k<29$）通过其他方式（如 $2^m-(k+3)$ 凑出另一个 $2^{k+1}$ 或其他幂次）满足条件？ 若 $S_N=2^{k+1}$，则必须 $2^m=k+3$。在 $14\le k<29$ 之间，不存在 $k+3$ 是 2 的幂次。 若 $S_N=2^p$ 且 $p<k+1$，由于 $2^{k+1}$ 远大于 $k+3$，这种可能性在正数范围内极小。 因此，$N=440$ 是满足条件的最小整数。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 分群数列的处理：将每一组看作一个整体，先求组和，再求总和。
• 2 的幂次感官：在处理类似 $2^n-\text{constant}$ 的题目时，将常数项转化为 $2$ 的幂次（如 16, 32, 64）进行抵消是常用的凑项技巧。
• 压轴题策略：作为选择题压轴，直接从 $k+3=2^m$ 寻找突破口比盲目列举要快得多。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 关于二进制的联想： $2^{k+1}-(k+2)$ 在二进制下表示为 $k+1$ 个 1 后面减去一个数值。要让它再加上一部分等比数列（即二进制下的一串 1）后变成 $2$ 的幂次，本质上是在补齐二进制的进位。

2. 变式训练： 若题目改为求满足 $N>100$ 且前 $N$ 项积为 2 的整数幂，该如何处理？ （提示：积的运算转化为指数的求和，逻辑会变为 $\sum \frac{i(i-1)}{2}+\frac{m(m-1)}{2}=P$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-23 解-数列综合
• 2015-福建卷文-17 解-数列综合
• 2020-江苏卷-20 解-数列综合