2017-全国卷I理-15 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 已知双曲线 $C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的右顶点为 $A$，以 $A$ 为圆心，$b$ 为半径作圆 $A$，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M,N$ 两点.若 $\angle MAN=60^{\circ }$，则 $C$ 的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 明确几何元素：

• 双曲线的右顶点 $A(a,0)$。
• 渐近线方程为 $y=\frac{b}{a}x$（或 $bx-ay=0$）。
• 圆 $A$ 的半径 $R=b$。

2. 利用圆的性质：

• 在圆 $A$ 中，$AM=AN=b$。
• 已知 $\angle MAN=60^{\circ }$，说明 $△AMN$ 是等边三角形。

3. 建立等量关系：

• 点 $A$ 到渐近线的距离 $d$ 是 $△AMN$ 的高。
• 在等边三角形中，$d=R\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}b$。
• 利用点到直线的距离公式表示出 $d$。

4. 求解离心率：通过 $a,b$ 的关系导出 $c$，计算 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$


【解析过程】 第一步：计算点到直线的距离 双曲线的一条渐近线为 $bx-ay=0$，右顶点为 $A(a,0)$。 点 $A$ 到渐近线的距离 $d=\frac{|b\cdot a-a\cdot 0|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{ab}{c}$。

第二步：利用三角形几何关系 在圆 $A$ 中，半径 $R=AM=AN=b$。 因为 $\angle MAN=60^{\circ }$ 且 $AM=AN$，所以 $△AMN$ 为等边三角形。 点 $A$ 到 $MN$ 的距离 $d$ 即为该等边三角形的高： $d=b\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}b$。

第三步：建立 $a,b,c$ 的方程 由以上两步得：$\frac{ab}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}b$。 消去 $b$ ($b\ne 0$) 得：$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由此可直接得出离心率的倒数 $\frac{1}{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 则 $e=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 渐近线距离模型：点 $(a,0)$ 到渐近线 $bx-ay=0$ 的距离 $d=\frac{ab}{c}$ 是一个非常经典的二级结论，建议熟记。
• 特殊三角形：看到 $60^{\circ }$ 和等腰（半径相等），立即反应出等边三角形，从而锁定高与半径的关系。
• 定义回归：离心率 $e=\frac{c}{a}$。本题直接求出了 $\frac{a}{c}$，无需再通过 $c^2=a^2+b^2$ 进行繁琐转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 类似结论： 如果圆 $A$ 与渐近线相切，则 $d=R$，即 $\frac{ab}{c}=b$，推得 $a=c$，这在双曲线中是不可能的（$c>a$），说明圆与渐近线必然相交。

2. 易错点： 计算距离公式时，分母是 $\sqrt{a^2+b^2}$，在双曲线中这恰好等于 $c$。但在椭圆中，$c=\sqrt{a^2-b^2}$，切勿混淆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线