2017-全国卷II文-13 填-辅助角公式

本题导读

考查利用辅助角公式将三角函数线性组合化为单一正弦函数求最大值，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 函数 $f(x)=2\cos x+\sin x$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察函数形式 $a\cos x+b\sin x$，利用辅助角公式将其化为 $A\sin (x+\phi )$ 的形式。
2. 确定振幅 $A$，即可得出函数最大值。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

利用辅助角公式： $f(x)=2\cos x+\sin x=\sqrt{2^2+1^2}\sin (x+\phi )=\sqrt{5}\sin (x+\phi )$， 其中 $\tan \phi =2$。 因为正弦函数的值域为 $[-1,1]$， 所以函数 $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}\times 1=\sqrt{5}$. 故答案为：$\sqrt{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$。
2. 核心方法：公式直接代入法。
3. 避坑指南：注意系数对应，$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，切勿算错平方和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数最值常规填空题。
2. 结论推广: $y=a\cos x+b\sin x$ 的最大值恒为 $\sqrt{a^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-15 填-辅助角公式
• 2013-湖北卷理-04 单-辅助角公式
• 2014-上海卷理-12 填-辅助角公式