2017-全国卷II文-16 填-解三角形

本题导读

考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化及三角形内角三角恒等变换，属于中档题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $2b\cos B=a\cos C+c\cos A$，则 $B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用正弦定理将边 $a,b,c$ 转化为对应的正弦值 $\sin A,\sin B,\sin C$。
2. 结合余弦定理或两角和公式将右侧的 $\cos C,\cos A$ 展开，化简三角函数关系求出角 $B$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$， 可将边化为角：$a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$. 代入已知等式 $2b\cos B=a\cos C+c\cos A$： $2(2R\sin B)\cos B=(2R\sin A)\cos C+(2R\sin C)\cos A$. 两边同除以 $2R$ 得： $2\sin B\cos B=\sin A\cos C+\sin C\cos A$. 根据两角和的正弦公式，右边可化为 $\sin (A+C)$： $2\sin B\cos B=\sin (A+C)$. 因为在 $△ABC$ 中，$A+C=\pi -B$，所以 $\sin (A+C)=\sin (\pi -B)=\sin B$. 因此： $2\sin B\cos B=\sin B⟹\sin B(2\cos B-1)=0$. 因为 $B$ 是三角形内角，$\sin B>0$， 所以 $2\cos B-1=0⟹\cos B=\frac{1}{2}$. 因为 $B\in (0,\pi )$，故 $B=\frac{\pi }{3}$. 故答案为：$\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理边化角、两角和正弦公式、特殊角的三角函数。
2. 核心方法：正弦定理边化角法。
3. 避坑指南：化简过程中注意 $\sin (A+C)=\sin B$，切勿漏掉公因式 $\sin B$ 的约分条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形经典填空题。
2. 结论推广: 三角形中见到 $a\cos C+c\cos A$ 可直接整体替换为 $b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形