2017-全国卷II文-23 解-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式。核心在于比较法、综合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 已知 $a>0,b>0,a^3+b^3=2$.证明：

(1)$(a+b)(a^5+b^5)\ge 4$；

(2)$a+b\le 2$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明大于等于 4）：

• 展开与组合：将 $(a+b)(a^5+b^5)$ 展开得到 $a^6+b^6+a{b}^5+a^{5}b$。
• 利用已知条件：我们已知 $a^3+b^3=2$，则 $(a^3+b^3{)}^2=a^6+b^6+2a^3{b}^3=4$。
• 比较大小：只需证明 $a{b}^5+a^{5}b\ge 2a^3{b}^3$。这可以通过均值不等式或提取公因式法轻松完成。

2. 第二问（证明小于等于 2）：

• 利用幂平均不等式（较快）：对于 $a,b>0$，有 $\frac{a+b}{2}\le \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}$。
• 利用基本不等式/因式分解（常规）：考虑 $(a+b{)}^3$ 与 $a^3+b^3$ 的关系。
• 构造矛盾：若 $a+b>2$，利用 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，通过证明 $a^2-ab+b^2$ 与 $a+b$ 的制约关系得出结论。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 因为 $(a+b)(a^5+b^5)=a^6+b^6+a{b}^5+a^{5}b$。 又因为 $a^3+b^3=2$，所以 $(a^3+b^3{)}^2=a^6+b^6+2a^3{b}^3=4$。 要证 $(a+b)(a^5+b^5)\ge 4$，只需证： $a^6+b^6+a{b}^5+a^{5}b\ge a^6+b^6+2a^3{b}^3$ 即证 $a{b}^5+a^{5}b\ge 2a^3{b}^3$。 由于 $a,b>0$，上式等价于 $a^4+b^4\ge 2a^2{b}^2$。 由均值不等式（$m^2+n^2\ge 2mn$）可知： $a^4+b^4=(a^2{)}^2+(b^2{)}^2\ge 2a^2{b}^2$ 显然成立。 当且仅当 $a=b=1$ 时等号成立。 所以 $(a+b)(a^5+b^5)\ge 4$ 得证。

(2)证明： 方法一：利用幂平均不等式 对于 $a,b>0$，由幂平均不等式可知： $\frac{a+b}{2}\le \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}$ 代入 $a^3+b^3=2$ 得： $\frac{a+b}{2}\le \sqrt[3]{\frac{2}{2}}=1$ 故 $a+b\le 2$。当且仅当 $a=b=1$ 时等号成立。

方法二：基本不等式变形 因为 $2=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$。 又因为 $a^2-ab+b^2\ge \frac{(a+b{)}^2}{4}$（即 $4a^2-4ab+4b^2\ge a^2+2ab+b^2\Rightarrow 3(a-b{)}^2\ge 0$）。 所以 $2=(a+b)(a^2-ab+b^2)\ge (a+b)\cdot \frac{(a+b{)}^2}{4}=\frac{(a+b{)}^3}{4}$。 从而 $(a+b{)}^3\le 8$，即 $a+b\le 2$。得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 齐次化思想：在处理这类对称不等式时，观察各项的“次数”非常重要。第一问本质上是在比较 6 次项的大小。
• 常用的二级结论：$\frac{a^n+b^n}{2}\ge (\frac{a+b}{2}{)}^n$ 在选修 4-5 中非常实用，尤其是 $n=3$ 的情况。
• 等号成立条件：在证明过程中，务必关注 $a=b$ 这一临界点，它是大部分不等式取得最值的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式