2017-全国卷II理-10 单-异面直线角

本题导读

本题考查直三棱柱的几何性质，以及异面直线所成的角。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 已知直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ABC=120^{\circ }$，$AB=2$，$BC=C{C}_1=1$，则异面直线 $A{B}_1$ 与 $B{C}_1$ 所成角的余弦值为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{15}}{5}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析几何体：直三棱柱意味着侧棱垂直于底面，即 $B{B}_1\perp$ 平面 $ABC$。
2. 选择解题策略：

• 方案一（空间向量法）：以 $B$ 为原点建立空间直角坐标系。由于 $\angle ABC=120^{\circ }$，坐标轴的选取需要注意（可令 $BC$ 为 $x$ 轴，$B{B}_1$ 为 $z$ 轴，再构造 $y$ 轴）。写出各点坐标，利用向量夹角公式求解。
• 方案二（几何平移法）：通过补形或平移，将异面直线转化为相交直线，构造三角形后利用余弦定理求解。

3. 向量法建模：

• 设 $B(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$B_1(0,0,1)$。
• 由 $\angle ABC=120^{\circ },AB=2$ 可得 $A(-1,\sqrt{3},0)$。
• 计算向量 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 和 $\overrightarrow{B{C}_1}$ 的坐标，代入公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：建立空间直角坐标系 以 $B$ 为坐标原点，射线 $BC$ 为 $x$ 轴正方向，射线 $B{B}_1$ 为 $z$ 轴正方向。 在平面 $ABC$ 内，作 $By\perp BC$，建立空间直角坐标系 $B-xyz$。 各点坐标如下：

• $B(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$B_1(0,0,1)$，$C_1(1,0,1)$。
• 对于点 $A$，由于 $\angle ABC=120^{\circ }$，$AB=2$，则 $A$ 在 $xy$ 平面内的坐标为 $(2\cos 120^{\circ },2\sin 120^{\circ },0)$，即 $A(-1,\sqrt{3},0)$。

第二步：计算向量坐标

• $\overrightarrow{A{B}_1}=(0-(-1),0-\sqrt{3},1-0)=(1,-\sqrt{3},1)$。
• $\overrightarrow{B{C}_1}=(1-0,0-0,1-0)=(1,0,1)$。

第三步：利用数量积求夹角余弦值 设异面直线 $A{B}_1$ 与 $B{C}_1$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}|}{|\overrightarrow{A{B}_1}|\cdot |\overrightarrow{B{C}_1}|}$ 计算分子：$|\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}|=|1\times 1+(-\sqrt{3})\times 0+1\times 1|=2$。 计算分母：$|\overrightarrow{A{B}_1}|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$； $|\overrightarrow{B{C}_1}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$。 代入公式： $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ 故选 C


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 直三棱柱的性质：侧棱与底面垂直是建立坐标系的基础。
• 建系的技巧：遇到非直角的底面（如 $120^{\circ }$），通常利用三角函数定义确定点的坐标，比纯几何辅助线法更具通用性。
• 异面直线成角范围：异面直线所成角的范围是 $(0,\pi /2]$，因此向量公式分子务必加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 几何法验证： 可以通过平移 $B{C}_1$ 到 $A{D}_1$（补齐一个平行四边形）来构造三角形。但本题由于底面角为 $120^{\circ }$，几何法计算各边长度的过程较为繁琐，向量法在此类“非特殊角”题目中优势明显。

2. 易错点：

• 坐标确定错误，尤其是点 $A$ 的坐标。
• 漏掉向量夹角公式中的绝对值。
• 基础长度计算错误（如 $AB=2$ 误记为 1）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-09 单-异面直线角
• 2018-江苏卷-22 解-异面直线角
• 2018-浙江卷-08 单-异面直线角