2018-全国卷II文-09 单-异面直线角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及空间几何体的平行与垂直。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$ 为棱 $C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $AE$ 与 $CD$ 所成角的正切值为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{7}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用平行线平移，将异面直线 $AE$ 与 $CD$ 所成角转化为直线 $AE$ 与 $AB$ 所成角（即 $\angle EAB$）。
2. 在 Rt$△ABE$ 中利用勾股定理和正切定义求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $CD\parallel AB$，所以异面直线 $AE$ 与 $CD$ 所成角即为直线 $AE$ 与 $AB$ 所成角 $\angle EAB$。 设正方体棱长为 $2$，则 $AB=2$, $CE=1$。 在 Rt$△BCE$ 中，$BC=2,CE=1$， 斜边 $BE=\sqrt{B{C}^2+C{E}^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。 在 Rt$△ABE$ 中，$AB\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$，故 $AB\perp BE$， 所以 $AE=\sqrt{A{B}^2+B{E}^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{5}{)}^2}=3$。 在 Rt$△ABE$ 中，$\tan \angle EAB=\frac{BE}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成角的计算。
2. 核心方法：平移转化为解三角形。
3. 避坑指南：准确识别直角三角形中的直角边，防止边长代错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何中异面直线夹角常规题。
2. 结论推广: 求异面直线夹角的标准步骤为“一作、二证、三计算”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1990-全国卷理-11 单-异面直线所成的角
• 1992-全国卷理-14
• 1992-全国卷理-26