2018-浙江卷-08 单-异面直线角

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）已知正四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，侧棱长均相等，$E$ 是线段 $AB$ 上的点（不含端点）.设 $SE$ 与 $BC$ 所成的角为 ${\theta }_1$，$SE$ 与平面 $ABCD$ 所成的角为 ${\theta }_2$，二面角 $S-AB-C$ 的平面角为 ${\theta }_3$，则()

A. ${\theta }_1\le {\theta }_2\le {\theta }_3$　　　　　B. ${\theta }_3\le {\theta }_2\le {\theta }_1$　　　　　C. ${\theta }_1\le {\theta }_3\le {\theta }_2$　　　　　D. ${\theta }_2\le {\theta }_3\le {\theta }_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定几何结构：由于侧棱长相等且底面为正方形，$S$ 在底面的投影 $O$ 是正方形的中心。$SO\perp$ 平面 $ABCD$。

2. 角的定义与表达：

   • ${\theta }_2$（线面角）：连接 $OE$，$\angle SEO={\theta }_2$。在 $Rt\Delta SOE$ 中，$\tan {\theta }_2=\frac{SO}{OE}$。

   • ${\theta }_3$（二面角）：取 $AB$ 中点 $M$，连接 $SM,OM$。根据对称性，$SM\perp AB,OM\perp AB$，则 $\angle SMO={\theta }_3$。在 $Rt\Delta SOM$ 中，$\tan {\theta }_3=\frac{SO}{OM}$。

   • ${\theta }_1$（异面直线角）：因为 $BC//AD$，则 $SE$ 与 $BC$ 所成角等于 $SE$ 与 $AD$ 所成角。过 $E$ 作 $EF//AD$ 交 $CD$ 于 $F$，则 $\angle SEF={\theta }_1$。

3. 边长关系比较：

   • 在底面正方形中，$E$ 是 $AB$ 上的动点，而 $M$ 是中点。显然 $OE\ge OM$（垂线段最短），由此可得 $\tan {\theta }_3\ge \tan {\theta }_2⟹{\theta }_3\ge {\theta }_2$。

   • 对于 ${\theta }_1$，利用空间直角三角形关系或正弦关系判定其大于二面角。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D

【解析过程】

设正四棱锥的高 $SO=h$，正方形边长为 $2a$。则 $O$ 到 $AB$ 的距离 $OM=a$。

1. 线面角 ${\theta }_2$：

   在 $Rt\Delta SOE$ 中，$\tan {\theta }_2=\frac{SO}{OE}=\frac{h}{OE}$。

2. 二面角 ${\theta }_3$：

   由于 $M$ 为 $AB$ 中点，$OM\perp AB,SM\perp AB$，故 $\angle SMO={\theta }_3$。

   在 $Rt\Delta SOM$ 中，$\tan {\theta }_3=\frac{SO}{OM}=\frac{h}{a}$。

   因为 $E$ 是 $AB$ 上异于端点和中点的点（或 $M$），由勾股定理 $OE=\sqrt{O{M}^2+M{E}^2}\ge OM$，即 $OE\ge a$。

   故 $\tan {\theta }_3\ge \tan {\theta }_2$，即 ${\theta }_3\ge {\theta }_2$。

3. 线线角 ${\theta }_1$：

   $BC//AD$，故 ${\theta }_1$ 为 $SE$ 与 $AD$ 所成的角。

   过 $S$ 作 $SH\perp AB$ 于 $H$（此处 $H$ 即为中点 $M$），根据最小角定理或坐标法分析：

   $\cos {\theta }_1=\cos \angle (SE,AD)=\frac{|\overrightarrow{SE}\cdot \overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{SE}|\cdot |\overrightarrow{AD}|}$。

   经过正切值计算得出：$\tan {\theta }_1=\frac{SN}{OM}$，其中 $SN$ 为 $S$ 到直线 $EF$ 的距离，$SN\ge SO$。

   综合比较可得：$\tan {\theta }_1\ge \tan {\theta }_3\ge \tan {\theta }_2$。

   即 ${\theta }_1\ge {\theta }_3\ge {\theta }_2$。

   对照选项，正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 空间角的逻辑链：线面角 $\le$ 二面角。这是一个非常有用的二级结论。线面角是直线与平面内所有直线所成角中最小的。

2. 动点问题：当 $E$ 无限接近中点 $M$ 时，${\theta }_2$ 接近其最大值，${\theta }_1$ 接近其最小值，此时三个角趋于某种临界状态。

3. 图形直观：在正四棱锥中，侧面斜高与底面所成角（二面角）是相对“陡峭”的，而侧棱或侧面内斜线与底面所成角（线面角）相对“平缓”。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下这个重要定理：

斜线与平面内直线所成的角 $\theta$，线面角 $\phi$，以及该直线在平面内的投影与平面内直线的夹角 $\alpha$ 满足：

$\cos \theta =\cos \phi \cdot \cos \alpha$。

由此可知 $\cos \theta \le \cos \phi$，即 $\theta \ge \phi$。这能快速解释为什么 ${\theta }_1\ge {\theta }_2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1996-全国卷理-19