2017-全国卷II理-12 单-向量数量积

本题导读

本题考查向量的数量积运算，以及向量的中点性质。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 已知 $\Delta ABC$ 是边长为 2 的等边三角形，$P$ 为平面 $ABC$ 内一点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最小值是 ()

A. $-2$　　　　　　B. $-\frac{3}{2}$　　　　　　C. $-\frac{4}{3}$　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量转化（几何法）：

• 设 $BC$ 的中点为 $M$。根据向量加法的平行四边形法则（或中点性质），有 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PM}$。
• 待求式变为 $2\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PM}$。
• 设 $AM$ 的中点为 $O$，通过插入点 $O$ 进一步转化，或直接利用坐标法求解。

2. 坐标法（通用解法）：

• 以 $BC$ 的中点 $M$ 为原点，$BC$ 所在直线为 $x$ 轴，$AM$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。
• 写出 $A,B,C$ 的坐标。
• 设 $P(x,y)$，将数量积表示为关于 $x,y$ 的二次函数，利用配方法求最小值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：建立坐标系 设 $BC$ 的中点为 $M(0,0)$。因为 $\Delta ABC$ 是边长为 2 的等边三角形， 所以 $B(-1,0)$，$C(1,0)$。 高 $AM=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，故 $A(0,\sqrt{3})$。


第二步：表示向量与数量积 设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，则：

• $\overrightarrow{PA}=(0-x,\sqrt{3}-y)=(-x,\sqrt{3}-y)$
• $\overrightarrow{PB}=(-1-x,0-y)=(-1-x,-y)$
• $\overrightarrow{PC}=(1-x,0-y)=(1-x,-y)$ 则 $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=(-2x,-2y)$。

第三步：构造函数并求最值 设 $f(x,y)=\overrightarrow{PA}\cdot (\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$： $f(x,y)=(-x)(-2x)+(\sqrt{3}-y)(-2y)$ $f(x,y)=2x^2-2\sqrt{3}y+2y^2$ $f(x,y)=2x^2+2(y^2-\sqrt{3}y)$ 对 $y$ 进行配方： $f(x,y)=2x^2+2{\left(y-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-2\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ $f(x,y)=2x^2+2{\left(y-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-\frac{3}{2}$

当 $x=0$ 且 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$（即 $P$ 为 $AM$ 的中点）时，$f(x,y)$ 取得最小值 $-\frac{3}{2}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 中点性质的妙用：$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PM}$ 是处理涉及两向量之和的最值题目的常用突破口，它能将两个动点向量减少为一个。
• 坐标法的稳健性：在平面几何图形（尤其是等边三角形、矩形）中，建立坐标系可以将复杂的向量运算转化为代数最值问题，逻辑清晰且不易出错。
• 压轴题策略：作为选择题压轴，本题计算量适中，核心考查对向量基本功的熟练度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 几何意义探讨： 最小值在 $P$ 为 $AM$ 中点处取得。此时 $\overrightarrow{PA}=(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=(0,-\sqrt{3})$。两者反向，乘积为 $-\frac{3}{2}$。

2. 变式思考： 如果题目限制 $P$ 在 $\Delta ABC$ 的外接圆上，该如何处理？ （提示：利用参数方程 $x=R\cos \alpha ,y=R\sin \alpha$ 代入上述二次函数求解）。

3. 类似结论： 在 $\Delta ABC$ 中，$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$ 的最小值通常与重心 $G$ 有关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-14 填-向量数量积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2010-天津卷文-09 单-向量数量积