2016-全国卷II文-04 单-球

本题导读

本题考查正方体与外接球、球的表面积公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 体积为 $8$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 ()

A. $12\pi$　　　　　　　B. $\frac{32}{3}\pi$　　　　　　　C. $8\pi$　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据正方体体积求出正方体的棱长。
2. 利用正方体的体对角线等于其外接球的直径，求出球的半径。
3. 利用球的表面积公式计算表面积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设正方体的棱长为 $a$，因为其体积为 $V=a^3=8$， 所以棱长 $a=2$。 正方体的体对角线长 $d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。 因为正方体的顶点都在同一球面上，所以正方体的体对角线即为外接球的直径 $2R$。 故 $2R=2\sqrt{3}⟹$ 外接球半径 $R=\sqrt{3}$。 该球面的表面积为 $S=4\pi R^2=4\pi (\sqrt{3}{)}^2=12\pi$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体外接球半径与棱长的关系。
2. 核心方法：体对角线等于外接球直径。
3. 避坑指南：注意正方体体对角线公式为 $\sqrt{3}a$，切勿漏掉根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何中球与多面体接切问题的常规考查。
2. 结论推广：长方体外接球直径等于其体对角线 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-全国卷III理-08 单-球
• 2017-全国卷II文-15 填-外接球

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