2017-全国卷III理-16 填-异面直线角

本题导读

本题考查空间异面直线所成的角，以及旋转体的几何性质。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） $a,b$ 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 $ABC$ 的直角边 $AC$ 所在直线与 $a,b$ 都垂直，斜边 $AB$ 以直线 $AC$ 为旋转轴旋转，有下列结论：

① 当直线 $AB$ 与 $a$ 成 $60^{\circ }$ 角时，$AB$ 与 $b$ 成 $30^{\circ }$ 角；

② 当直线 $AB$ 与 $a$成 $60^{\circ }$ 角时，$AB$ 与 $b$ 成 $60^{\circ }$ 角；

③ 直线 $AB$ 与 $a$ 所成角的最小值为 $45^{\circ }$；

④ 直线 $AB$ 与 $a$ 所成角的最大值为 $60^{\circ }$.

其中正确的是 $\underline{}$（填写所有正确结论的编号）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型构建：直线 $a,b,AC$ 三两互相垂直，可以将其放置在正方体的三个轴向上。$AB$ 以 $AC$ 为轴旋转，其轨迹形成一个以 $AC$ 为高、$\Delta ABC$ 的另一条直角边 $BC$ 为底面半径的圆锥面。
2. 坐标化处理：建立空间直角坐标系，设 $A(0,0,1)$，$C(0,0,0)$，$B$ 点在 $xy$ 平面的圆 $x^2+y^2=1$ 上运动。
3. 向量计算：

• 设直线 $a$ 方向向量为 $\vec{u}=(1,0,0)$，直线 $b$ 方向向量为 $\vec{v}=(0,1,0)$。
• 设 $B(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$，则 $\overrightarrow{AB}=(\cos \theta ,\sin \theta ,-1)$。

4. 夹角公式：利用 $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{u}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{u}|}$ 建立夹角 $\alpha$ 与 $\theta$ 的关系，分析最值。

✅【答案】

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②③

✍【详细解析】

Abstract

解：


第一步：建立空间直角坐标系 设 $AC=BC=1$，则 $AB=\sqrt{2}$。 以 $C$ 为原点，射线 $CA$ 为 $z$ 轴正半轴，直线 $a,b$ 分别为 $x,y$ 轴建立坐标系。 则各点坐标及向量方向如下： $C(0,0,0)$，$A(0,0,1)$。 直线 $a$ 的方向向量 $\vec{a}=(1,0,0)$；直线 $b$ 的方向向量 $\vec{b}=(0,1,0)$。 点 $B$ 在旋转过程中，其轨迹是 $xy$ 平面上的圆 $x^2+y^2=1$。 设旋转过程中 $B(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$，其中 $\theta \in [0,2\pi )$。 则 $\overrightarrow{AB}=(\cos \theta ,\sin \theta ,-1)$，其模长 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta +(-1{)}^2}=\sqrt{2}$。

第二步：分析直线 $AB$ 与 $a$ 的夹角 $\alpha$ $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{a}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{a}|}=\frac{|\cos \theta |}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}|\cos \theta |$ 由于 $|\cos \theta |\in [0,1]$，所以 $\cos \alpha \in [0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$。 对应的角度范围为 $\alpha \in [45^{\circ },90^{\circ }]$。

• 最小值为 $45^{\circ }$（当 $|\cos \theta |=1$ 时），故 ③ 正确。
• 最大值为 $90^{\circ }$（当 $|\cos \theta |=0$ 时），故 ④ 错误。

第三步：判定结论 ① 与 ② 设 $AB$ 与 $b$ 所成的角为 $\beta$： $\cos \beta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{b}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{b}|}=\frac{|\sin \theta |}{\sqrt{2}}$ 当 $\alpha =60^{\circ }$ 时，$\cos \alpha =\frac{1}{2}$。 代入 $\cos \alpha$ 的表达式：$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}|\cos \theta |\Rightarrow |\cos \theta |=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {\cos }^2\theta =\frac{1}{2}$。 由此得 ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =\frac{1}{2}$，即 $|\sin \theta |=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 此时计算 $\cos \beta$： $\cos \beta =\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ 所以 $\beta =60^{\circ }$。 故 ② 正确，① 错误。

综上所述，正确的结论是 ②③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何体嵌入法：将复杂的旋转关系嵌入正方体或圆锥模型中，能极大降低空间抽象难度。
• 动态问题的静态化：利用坐标（参数 $\theta$）表示动点，将“旋转”过程转化为“函数值域”问题。
• 所成角的定义：注意空间直线所成角的范围是 $[0^{\circ },90^{\circ }]$，向量夹角公式需加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 几何直观判定： $AB$ 与 $a$ 的夹角达到最小值时，$AB$ 在包含 $a$ 的平面内的投影与 $a$ 重合。此时 $AB$、水平面内的 $BC$、以及 $a$ 都在同一个垂直平面内，由于 $\Delta ABC$ 是等腰直角三角形，$AB$ 与水平面的夹角为 $45^{\circ }$，故与 $a$ 的最小角为 $45^{\circ }$。

2. 能量守恒式关系： 若记 $AB$ 与 $x,y,z$ 轴的夹角分别为 $\alpha ,\beta ,\gamma$，则 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$。 本题中由于 $AB$ 与 $AC$（$z$ 轴）夹角固定为 $45^{\circ }$，故 ${\cos }^2\gamma =\frac{1}{2}$。 得 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta =\frac{1}{2}$。 当 $\alpha =60^{\circ }$ 时，$\frac{1}{4}+{\cos }^2\beta =\frac{1}{2}\Rightarrow \cos \beta =\frac{1}{2}$，即 $\beta =60^{\circ }$。这种方法在处理此类垂直轴向旋转问题时极快。

3. 易错警示： 学生容易忽略“最大值”的判定，直觉认为最大是 $60^{\circ }$。实际上当 $AB$ 旋转到垂直于 $a$ 的位置时，夹角可达 $90^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-09 单-异面直线角
• 2018-江苏卷-22 解-异面直线角
• 2018-浙江卷-08 单-异面直线角