2017-北京卷理-09 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 若双曲线 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$，则实数 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别标准方程参数：由方程 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$ 可知，该双曲线焦点在 $x$ 轴上，且 $a^2=1$，$b^2=m$（其中 $m>0$）。
2. 利用基本关系式：双曲线中满足 $c^2=a^2+b^2$，故 $c^2=1+m$。
3. 建立离心率方程：离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}$。根据已知条件 $e=\sqrt{3}$，代入参数求解 $m$。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2 【解析过程】 由双曲线方程 $x^2-\frac{y^2}{m}=1$ 得： $a^2=1$，$b^2=m$。 则 $c^2=a^2+b^2=1+m$。 由于离心率 $e=\sqrt{3}$， 则 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{1+m}{1}=3$。 解得 $m=2$。 经检验，$m=2>0$ 符合双曲线定义。 故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• a, b, c 的逻辑关系：双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，而椭圆中 $a^2=b^2+c^2$，这是极易混淆的考点。
• 离心率的变形形式：在填空题中，使用 $e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+(\frac{b}{a}{)}^2$ 往往能更快列出方程。
• 焦点位置判断：方程中系数为正的项对应实轴。本题 $x^2$ 系数为正，故焦点在 $x$ 轴上。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比记录双曲线的几组常用结论：

1. 离心率与渐近线：$e=\sqrt{1+k^2}$（其中 $k$ 为渐近线斜率绝对值）。
2. 等轴双曲线：$a=b$，此时 $e=\sqrt{2}$，渐近线互相垂直。
3. 本题推广：若 $e=\sqrt{3}$，则 $b^2=2a^2$，渐近线倾斜角为 $60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线