2017-北京卷理-10 填-数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)）若等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = - 1$ ， $a_{4} = b_{4} = 8$ ，则 $\frac{a _{2}}{b _{2}} =$ .

🔍【思路分析】

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设基本量：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ 。

列方程组：

根据等差数列通项公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ，由 $a_{1} = - 1, a_{4} = 8$ 求出 $d$ 。

根据等比数列通项公式 $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ ，由 $b_{1} = - 1, b_{4} = 8$ 求出 $q$ 。

计算目标值：分别求出 $a_{2}$ 和 $b_{2}$ ，最后求比值。

✅【答案】

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1

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 1 【解析过程】对于等差数列 ${a_{n}}$ ： $a_{4} = a_{1} + 3 d ⟹ - 1 + 3 d = 8$ 解得 $3 d = 9 ⟹ d = 3$ 。则 $a_{2} = a_{1} + d = - 1 + 3 = 2$ 。

对于等比数列 ${b_{n}}$ ： $b_{4} = b_{1} \cdot q^{3} ⟹ - 1 \cdot q^{3} = 8$ 解得 $q^{3} = - 8 ⟹ q = - 2$ 。则 $b_{2} = b_{1} \cdot q = - 1 \cdot (- 2) = 2$ 。

所以 $\frac{a _{2}}{b _{2}} = \frac{2}{2} = 1$ 。故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

基本量法：处理数列问题的核心是“知三求二”，即通过已知的项和首项，求出公差或公比。

奇次方根：在解 $q^{3} = - 8$ 时，负数的奇次方根仍然是负数，不需要讨论正负号；若是偶次方根则需根据题意讨论。

方程思想：数列问题本质上是关于 $a_{1}, d, q$ 等基本量的方程组问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比等差与等比数列的中项性质：

若 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 成等差，则 $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ 。

若 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 成等比，则 $b_{1} \cdot b_{4} = b_{2} \cdot b_{3}$ 。本题中： $a_{2} + a_{3} = 7$ ， $b_{2} \cdot b_{3} = - 8$ 。

🔗【关联脉络】

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