2014-福建卷文-17 解-数列

本题导读

本题由 $a_2=3$、$a_5=81$ 两式相除定公比 $q$，写出 $a_n$；再取对数把 $b_n$ 化为等差数列求和。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） (1) 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=3$，$a_5=81$，求 $a_n$；

(2) 设 $b_n={\log }_3{a}_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) $\frac{a_5}{a_2}=q^3=27\Rightarrow q=3$，$a_1=1$，故 $a_n=3^{n-1}$。(2) $b_n={\log }_3{3}^{n-1}=n-1$ 为等差数列，套求和公式。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a_n$；(2) $S_n$

✍【详细解析】

详细解析

(1) 由 $a_2=3$，$a_5=81$ 得 $q^3=\frac{a_5}{a_2}=27$，故 $q=3$；又 $a_1=\frac{a_2}{q}=1$，所以 $a_n=3^{n-1}$。 (2) $b_n={\log }_3{a}_n=n-1$，是首项为 $0$、公差为 $1$ 的等差数列，故 $S_n=\frac{n(0+n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项与对数化等差求和
2. 核心方法：基本量法 + 对数化归
3. 避坑指南：$q^3=27$ 开立方只取实根 $q=3$（等比数列公比为实数）；$b_1={\log }_{3}1=0$，首项是 0 而非 1，求和时上式 $n-1$ 项数易差一。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: “等比取对数变等差”是数列综合性大题的入门级组合，福建卷把它放在解答题第一题以控制起点难度。
2. 结论推广: 一般地，$a_n=a_1{q}^{n-1}>0$ 时，${\log }_m{a}_n={\log }_m{a}_1+(n-1){\log }_{m}q$ 恒为等差数列。
3. 方法推广: 解答题第 1 题通常为“基本量 + 一步化归”，动笔前先确认首项、公差（比）与项数三个基本量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-03 单-等差数列通项
• 2014-新课标I卷理-13 填-二项式通项