2017-北京卷理-13 填-命题真假

本题导读

本题考查命题的真假判定，以及不等式的性质。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 能够说明“设 $a,b,c$ 是任意实数.若 $a>b>c$，则 $a+b>c$”是假命题的一组整数 $a,b,c$ 的值依次为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题结构：

• 条件（前提）：$a,b,c$ 均为实数，且 $a>b>c$。
• 结论：$a+b>c$。

2. 寻找反例的目标：

• 要证明是假命题，需要找出一组数，使得“条件成立”但“结论不成立”。
• 即：找到 $a,b,c$ 满足 $a>b>c$，但 $a+b\le c$。

3. 构造数值：

• 由于结论涉及加法，若 $a,b,c$ 均为正数，通常 $a+b>c$ 是成立的（例如 $3>2>1⟹3+2>1$）。
• 因此，反例通常出现在负数或包含零的区域。
• 尝试较小的负整数：
  • 若 $c=-3,b=-4,a=-5$？不满足 $a>b>c$。
  • 正向调整：设 $c=-3$。取 $b=-4$（不满足 $b>c$）。
  • 修正：设 $a=-1,b=-2,c=-3$。
    • 验证条件：$-1>-2>-3$，满足 $a>b>c$。
    • 验证结论：$a+b=(-1)+(-2)=-3$。
    • 此时 $a+b$ 并不大于 $c$（刚好等于 $c$），满足 $a+b\le c$。

✅【答案】

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$-1,-2,-3$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-1,-2,-3$ （答案不唯一，满足 $a>b>c$ 且 $a+b\le c$ 的整数即可） 【解析过程】 要说明原命题为假命题，只需举出一个反例。 设 $a=-1,b=-2,c=-3$。 此时满足条件：$-1>-2>-3$，即 $a>b>c$ 成立。 计算结论：$a+b=-1+(-2)=-3$。 因为 $-3\ngtr -3$（即 $a+b=c$），不满足结论 $a+b>c$。 所以这组值说明原命题是假命题。 （注：其他如 $-2,-3,-4$ 或 $0,-1,-1$ 虽非全部互异整数，但只要满足题设且结论不成立均可。题目要求整数，应严格提供整数对。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 反例的威力：全称命题“对任意…”只要有一个反例即可推翻。
• 思维定势：很多学生直觉认为 $a>b>c$ 时 $a+b$ 很大，这反映了对负数运算直觉的缺失。在处理不等式性质题时，务必考虑 负数、零、分数（0到1之间） 等特殊数值。
• 边界情况：本题中 $a+b=c$ 也是成功的反例，因为结论要求的是“严格大于”。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以收集一些常见的不等式“陷阱”命题：

1. 若 $a>b$，则 $a^2>b^2$。（反例：$1>-2$）
2. 若 $a>b,c>d$，则 $ac>bd$。（反例：正负混合）
3. 若 $a>b$，则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。（反例：一正一负）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-06 单-命题真假
• 2014-辽宁卷文-05 单-命题真假
• 2014-重庆卷文-06 单-命题真假