2014-江西卷文-06 单-命题真假

本题导读

逐项检查：$P$ 是 $Q$ 的充分条件要求 $P\Rightarrow Q$；(C) 按「改量词 + 否结论」核对；(D) 用线面垂直的性质定理。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 下列叙述中正确的是()

A. 若 $a$，$b$，$c\in \mathbf{R}$，则「$a{x}^2+bx+c⩾0$」的充分条件是「$b^2-4ac⩽0$」

B. 若 $a$，$b$，$c\in \mathbf{R}$，则「$a{b}^2>c{b}^2$」的充要条件是「$a>c$」

C. 命题「对任意 $x\in \mathbf{R}$，有 $x^2⩾0$」的否定是「存在 $x\in \mathbf{R}$，有 $x^2⩾0$」

D. $l$ 是一条直线，$\alpha$，$\beta$ 是两个不同的平面，若 $l\perp \alpha$，$l\perp \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$

🔍【思路分析】

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(A) 反例取 $a<0$；(B) 反例取 $b=0$；(C) 否定应为「存在 $x_0$，有 $x_0^2<0$」。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

(A) 取 $a=-1$，$b=0$，$c=0$，则 $b^2-4ac=0⩽0$ 成立，但 $a{x}^2+bx+c=-x^2⩾0$ 对一切实数 $x$ 并不成立，故「$b^2-4ac⩽0$」不是「$a{x}^2+bx+c⩾0$」的充分条件，错误。 (B) $a{b}^2>c{b}^2$ 即 $(a-c)b^2>0$，当 $b=0$ 时不成立；取 $a>c$ 但 $b=0$ 即得反例，故两者不充要，错误。 (C) 全称命题的否定既要改量词又要否定结论，应为「存在 $x_0\in \mathbf{R}$，有 $x_0^2<0$」，原叙述只改了量词，错误。 (D) 由线面垂直的性质定理，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：命题真假的判断（充要条件、全称命题的否定、线面垂直）

2. 核心方法：逐项构造反例

3. 避坑指南：(A) 还需 $a>0$，取 $a<0$ 即得反例；(B) 隐含 $b^2>0$，取 $b=0$ 即得反例；(C) 全称命题的否定必须同时「改量词、否结论」，只改量词不算否定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 简易逻辑与空间位置关系的辨析题。

2. 结论推广: 垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面。

3. 方法推广: 真假命题辨析先尝试构造反例，反例找不到再证明，这是多选项辨析题的高效顺序。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-05 单-且、或、非
• 2014-安徽卷理-02 单-充分条件与必要条件