2017-天津卷文-05 单-双曲线

本题导读

考查双曲线的渐近线、焦点坐标及等边三角形几何性质的综合应用。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的右焦点为 $F$，点 $A$ 在双曲线的渐近线上，$△OAF$ 是边长为 2 的等边三角形 ($O$ 为原点)，则双曲线方程为 ()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

B. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

C. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{}=1$ （注：选项C为 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$）

D. $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据右焦点 $F(c,0)$ 及 $△OAF$ 是边长为 2 的等边三角形，可得点 $F$ 到原点的距离 $OF=c=2$。
2. 点 $A$ 在渐近线 $y=\frac{b}{a}x$（或 $y=-\frac{b}{a}x$）上，且 $△OAF$ 边长为 2，说明点 $A$ 到原点的距离 $OA=2$，且直线 $OA$ 与 $x$ 轴的夹角为渐近线倾斜角（或 $60^{\circ }$ 等）。
3. 利用直角三角形边角关系求出 $a$ 和 $b$，进而确定双曲线方程。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $△OAF$ 是边长为 2 的等边三角形，$O$ 为原点，$F(c,0)$ 为右焦点， 所以 $OF=c=2$，且边长 $|AF|=|OA|=2$，$\angle AOF=60^{\circ }$（或 $120^{\circ }$）。 点 $A$ 在渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 上，所以直线 $OA$ 的斜率的绝对值为 $\frac{b}{a}=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$，即 $b=\sqrt{3}a$。 在等边三角形 $OAF$ 中，顶点 $A$ 到 $x$ 轴的距离为 $2\cdot \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$，横坐标为 $2\cdot \cos 60^{\circ }=1$， 所以点 $A$ 的坐标可设为 $\left(1,\sqrt{3}\right)$。 因为点 $A$ 在渐近线 $y=\frac{b}{a}x$ 上，代入得 $\sqrt{3}=\frac{b}{a}\cdot 1⟹b=\sqrt{3}a$。 又因为 $c=2$，且 $c^2=a^2+b^2$ 恒成立， 所以 $2^2=a^2+(\sqrt{3}a{)}^2⟹4=a^2+3a^2⟹4a^2=4⟹a^2=1$。 从而 $b^2=3a^2=3$。 因此，双曲线的标准方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线倾斜角、等边三角形几何性质。
2. 核心方法：数形结合与直角三角形边角转化。
3. 避坑指南：熟练掌握渐近线斜率 $\frac{b}{a}$ 与直线倾斜角正切值的关系（$\frac{b}{a}=\tan \theta$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线几何性质综合题。
2. 结论推广: 双曲线渐近线与焦点构成的直角三角形或等腰三角形性质，常用于建立 $a,b,c$ 的齐次方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线