2017-天津卷文-09 填-复数

本题导读

考查复数的除法运算法则及复数为实数的条件（虚部等于零）。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 已知 $a\in \mathbf{R}$，$i$ 为虚数单位，若 $\frac{a-i}{2+i}$ 为实数，则 $a$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将复数分子分母同乘以分母的共轭复数 $2-i$，进行分母实数化。
2. 将其化为 $x+yi$ 的标准形式，令其虚部等于 0 求解参数 $a$。

✅【答案】

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-2

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{a-i}{2+i}=\frac{(a-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{2a-ai-2i+i^2}{2^2-i^2}=\frac{(2a-1)-(a+2)i}{4-(-1)}=\frac{2a-1}{5}-\frac{a+2}{5}i$。 因为该复数是实数，所以其虚部必须为 0，即： $-\frac{a+2}{5}=0⟹a+2=0⟹a=-2$。 故答案为：-2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数运算与实数条件。
2. 核心方法：分子分母同乘共轭复数。
3. 避坑指南：复数 $\frac{z_1}{z_2}$ 为实数的充要条件是其虚部为 0（或者利用 $z=\bar{z}$ 求解）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考复数基础填空题。
2. 结论推广: 若复数 $z=x+yi$ 为实数，则 $y=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

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