2017-天津卷文-15 解-解三角形

本题导读

考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换与求值问题。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 对的边分别为 $a,b,c$，已知 $a\sin A=4b\sin B$，$ac=\sqrt{5}(a^2-b^2-c^2)$.

(1) 求 $\cos A$ 的值；

(2) 求 $\sin (2B-A)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用正弦定理将边化为角或角化为边。由 $a\sin A=4b\sin B$ 结合正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$，可得 $a^2=4b^2$；再代入第二个已知条件 $ac=\sqrt{5}(a^2-b^2-c^2)$，结合余弦定理 $b^2+c^2-a^2=-2bc\cos A$，即可求出 $\cos A$。
2. 第(2)问：由 $\cos A$ 求出 $\sin A$，再结合 $a^2=4b^2⟹a=2b$ 及正弦定理求出 $\sin B$，进而求出 $\cos B$。最后利用两角差的正弦公式展开计算 $\sin (2B-A)$。

✅【答案】

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$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $a\sin A=4b\sin B$，根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R$， 可得 $a\cdot \frac{a}{2R}=4b\cdot \frac{b}{2R}⟹a^2=4b^2$，即 $a=2b$。 代入第二个条件 $ac=\sqrt{5}(a^2-b^2-c^2)$ 中： 因为 $a^2=4b^2$，所以 $a^2-b^2=3b^2$，原式变为： $ac=\sqrt{5}(3b^2-c^2)$。 又由余弦定理：$b^2+c^2-a^2=2bc\cos A$， 因为 $a^2=4b^2$，所以 $b^2-a^2=-3b^2$，即 $-3b^2+c^2=2bc\cos A$， 从而 $3b^2-c^2=-2bc\cos A$。 将其代入 $ac=\sqrt{5}(3b^2-c^2)$ 得： $ac=\sqrt{5}(-2bc\cos A)$。 因为 $c\ne 0$，两边同除以 $c$ 得： $a=-2\sqrt{5}b\cos A$。 又因为 $a=2b$，代入得： $2b=-2\sqrt{5}b\cos A$。 因为 $b>0$，两边同除以 $2b$ 得： $1=-\sqrt{5}\cos A⟹\cos A=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。

(2) 因为 $\cos A=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，且 $A\in (0,\pi )$， 所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 由 $a=2b$ 及正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 可得： $\frac{2b}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}⟹2\sin B=\sin A=\frac{2\sqrt{5}}{5}⟹\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 因为在 $△ABC$ 中，$a=2b>b$，所以 $A>B$，从而 $B$ 为锐角， 故 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 $\sin 2B=2\sin B\cos B=2\times \frac{\sqrt{5}}{5}\times \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5}$； $\cos 2B=1-2{\sin }^{2}B=1-2{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。 最后求 $\sin (2B-A)$： $\sin (2B-A)=\sin 2B\cos A-\cos 2B\sin A$ $=\left(\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)-\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$ $=-\frac{4\sqrt{5}}{25}-\frac{6\sqrt{5}}{25}=-\frac{10\sqrt{5}}{25}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 故 $\sin (2B-A)$ 的值为 $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理、二倍角与两角差公式。
2. 核心方法：边角互化法与整体代换法。
3. 避坑指南：在由 $\sin B$ 求 $\cos B$ 时，必须根据三角形的大边对大角判断角的大小范围，以确定符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形综合解答题的标准核心题型。
2. 结论推广: 综合利用正余弦定理可以将复杂的边长关系顺利转化为三角函数关系进行求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形