2017-天津卷文-17 解-异面直线角

本题导读

考查立体几何中的异面直线夹角、线面垂直判定及线面角的计算，综合性较强。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AD\perp$ 平面 $PDC$，$AD\parallel BC$，$PD\perp PB$，$AD=1$，$BC=3$，$CD=4$，$PD=2$.

(1) 求异面直线 $AP$ 与 $BC$ 所成角的余弦值；

(2) 求证：$PD\perp$ 平面 $PBC$；

(3) 求直线 $AB$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：利用线面垂直性质，因 $AD\parallel BC$，可将异面直线 $AP$ 与 $BC$ 的夹角转化为 $AP$ 与 $AD$ 的夹角（或利用向量法建系求解）。
2. 第(2)问：要证 $PD\perp$ 平面 $PBC$，只需证 $PD$ 垂直于平面内的两条相交直线（已知 $PD\perp PB$，只需再证 $PD\perp PC$，可利用 $AD\perp$ 平面 $PDC$ 结合 $AD\parallel BC$ 推出 $BC\perp$ 平面 $PDC$，从而 $BC\perp PD$）。
3. 第(3)问：利用空间向量法或等体积转化法（点到平面距离）求直线 $AB$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) 证明见解析

(3) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $AD\parallel BC$，所以异面直线 $AP$ 与 $BC$ 所成的角等于 $AP$ 与 $AD$ 所成的角 $\angle PAD$（或其补角）。 在 $△PAD$ 中，已知 $AD=1$，$PD=2$。 又因为 $AD\perp$ 平面 $PDC$，且 $PD\subset$ 平面 $PDC$， 所以 $AD\perp PD$，即 $△PAD$ 是以 $D$ 为直角顶点的直角三角形。 在 $\text{Rt}△PAD$ 中，$PA=\sqrt{A{D}^2+P{D}^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。 因此，$\cos \angle PAD=\frac{AD}{AP}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 故异面直线 $AP$ 与 $BC$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。

(2) 证明： 因为 $AD\perp$ 平面 $PDC$，且 $BC\parallel AD$， 所以 $BC\perp$ 平面 $PDC$。 又因为 $PD\subset$ 平面 $PDC$， 所以 $BC\perp PD$。 又已知 $PD\perp PB$，且 $BC\cap PB=B$， 所以 $PD\perp$ 平面 $PBC$。

(3) 解： 过点 $D$ 作 $AB$ 的平行线交 $BC$ 于点 $F$，连结 $PF$，则 $DF$ 与平面 $PBC$ 所成的角等于 $AB$ 与平面 $PBC$ 所成的角。 因为 $PD\perp$ 平面 $PBC$，所以 $PF$ 为 $DF$ 在平面 $PBC$ 上的射影， 故 $\angle DFP$ 为直线 $DF$ 和平面 $PBC$ 所成的角。 由于 $AD\parallel BC$，$DF\parallel AB$，故四边形 $ABFD$ 是平行四边形，所以 $BF=AD=1$， 由 $BC=3$，得 $CF=BC-BF=2$。 又 $AD\perp$ 平面 $PDC$，$DC\subset$ 平面 $PDC$，所以 $AD\perp DC$；而 $AD\parallel BC$，故 $BC\perp DC$。 在 $\text{Rt}△DCF$ 中，$DF=\sqrt{D{C}^2+C{F}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。 在 $\text{Rt}△DPF$ 中，$PD\perp PF$，所以 $\sin \angle DFP=\frac{PD}{DF}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。 故直线 $AB$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 异面直线夹角、线面垂直证明、线面角计算。
2. 核心方法: 几何转化法与空间向量坐标法。
3. 避坑指南: 找异面直线夹角时切记要通过平行移动将两条直线平移到相交位置；建系时注意利用已有的垂直关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题的中档经典题。
2. 结论推广: 空间中平行线可用于异面直线夹角的等效转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II文-09 单-异面直线角
• 2018-江苏卷-22 解-异面直线角
• 2018-浙江卷-08 单-异面直线角