2017-天津卷理-04 单-充要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 设 $\theta \in \mathbb{R}$，则“$|\theta -\frac{\pi }{12}|<\frac{\pi }{12}$”是“$\sin \theta <\frac{1}{2}$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解条件 $p$：解绝对值不等式 $|\theta -\frac{\pi }{12}|<\frac{\pi }{12}$。 $-\frac{\pi }{12}<\theta -\frac{\pi }{12}<\frac{\pi }{12}⟹0<\theta <\frac{\pi }{6}$。
2. 解结论 $q$：解三角不等式 $\sin \theta <\frac{1}{2}$。 在单位圆或正弦曲线中，其解集为 $\{\theta \mid 2k\pi -\frac{7\pi }{6}<\theta <2k\pi +\frac{\pi }{6},k\in \mathbb{Z}\}$。
3. 比较集合包含关系：

• 令 $A=\{\theta \mid 0<\theta <\frac{\pi }{6}\}$。
• 令 $B=\{\theta \mid \sin \theta <\frac{1}{2}\}$。
• 显然当 $k=0$ 时，$B$ 包含区间 $(-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6})$，包含了集合 $A$。
• 因为 $A⊊B$，所以 $p⟹q$ 成立，但 $q/⟹p$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】

1. 转化条件 $p$： 由 $|\theta -\frac{\pi }{12}|<\frac{\pi }{12}$ 得 $-\frac{\pi }{12}<\theta -\frac{\pi }{12}<\frac{\pi }{12}$， 解得 $0<\theta <\frac{\pi }{6}$。
2. 分析充分性： 当 $0<\theta <\frac{\pi }{6}$ 时，根据正弦函数在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上的单调递增性， 有 $\sin 0<\sin \theta <\sin \frac{\pi }{6}$，即 $0<\sin \theta <\frac{1}{2}$。 显然能推出 $\sin \theta <\frac{1}{2}$，充分性成立。
3. 分析必要性： 若 $\sin \theta <\frac{1}{2}$，$\theta$ 可以取 $0$ 或 $-\pi$ 等值。 但 $\theta =0$ 时，$|0-\frac{\pi }{12}|=\frac{\pi }{12}$，不满足 $|\theta -\frac{\pi }{12}|<\frac{\pi }{12}$。 故推不出 $p$，必要性不成立。 综上，“$|\theta -\frac{\pi }{12}|<\frac{\pi }{12}$”是“$\sin \theta <\frac{1}{2}$”的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 逻辑判定准则：
• $p⟹q$：充分；
• $q⟹p$：必要。
• 集合角度：小范围 $⟹$ 大范围。
• 易错点：解三角不等式时容易忽略周期性，但在判定充分性时，只要局部范围（如 $k=0$ 时）满足包含关系即可。
• 此类题最稳妥的方法是“先化简，再对比”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若将条件改为 $|\theta -\frac{\pi }{6}|<\frac{\pi }{6}$，结论会如何变化？（提示：此时范围变为 $(0,\frac{\pi }{3})$，包含 $\sin \theta \ge 1/2$ 的部分，则既不充分也不必要）。
2. 知识关联：本题将不等式、三角函数与逻辑用语交叉考查，是高考小题的经典综合方式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-15 单-充要条件
• 2009-四川卷文-07 单-充要条件
• 2009-山东卷文-09 单-充要条件