2017-天津卷理-15 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于边角互化法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.已知 $a>b$，$a=5$，$c=6$，$\sin B=\frac{3}{5}$.

(1)求 $\cos A$ 的值；

(2)求 $\sin (A+\frac{\pi }{4})$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角 $A$）：

• 已知 $a,c,\sin B$，由于不直接构成 $A$ 的对边关系，先用余弦定理求 $b$ 或用正弦定理寻找突破口。
• 观察已知：有 $a,c$ 且有 $\sin B$。可以利用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
• 需要先由 $\sin B$ 求 $\cos B$。注意三角形内角 $B$ 的范围及 $a>b$ 的限制。

2. 第二问（三角变换）：

• 利用两角和的正弦公式展开：$\sin (A+\frac{\pi }{4})=\sin A\cos \frac{\pi }{4}+\cos A\sin \frac{\pi }{4}$。
• 需要先求出 $\sin A$ 和 $\cos A$。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1)求 $\cos A$： 在 $△ABC$ 中，已知 $\sin B=\frac{3}{5}$。 因为 $a=5,c=6$，由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$ 可知，若要直接求 $A$ 需知 $b$。 先用余弦定理求 $b$： 由 $\sin B=\frac{3}{5}$ 得 ${\cos }^{2}B=1-(\frac{3}{5}{)}^2=\frac{16}{25}$，所以 $\cos B=\pm \frac{4}{5}$。 若 $\cos B=\frac{4}{5}$，则 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=25+36-2\times 5\times 6\times \frac{4}{5}=61-48=13$，即 $b=\sqrt{13}$。 此时 $b^2=13<a^2=25$，满足 $a>b$。 若 $\cos B=-\frac{4}{5}$，则 $b^2=25+36-2\times 5\times 6\times (-\frac{4}{5})=61+48=109$，即 $b=\sqrt{109}$。 此时 $b^2=109>a^2=25$，即 $b>a$，与已知 $a>b$ 矛盾，舍去。 故 $b=\sqrt{13},\cos B=\frac{4}{5}$。 在 $△ABC$ 中，由余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{13+36-25}{2\times \sqrt{13}\times 6}=\frac{24}{12\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。

(2)求 $\sin (A+\frac{\pi }{4})$： 由(1)知 $\cos A=\frac{2}{\sqrt{13}}$。 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{4}{13}}=\sqrt{\frac{9}{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}$。 则 $\sin (A+\frac{\pi }{4})=\sin A\cos \frac{\pi }{4}+\cos A\sin \frac{\pi }{4}$ $=\frac{3}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $=\frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{26}}{26}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 多解判别：在利用 $\sin B$ 求 $\cos B$ 时，一定要结合题干中的边长大小关系（如 $a>b$）来舍去不合题意的解。
• 公式选择：已知两边及其中一边的对角，优先正弦定理；已知两边及其夹角，优先余弦定理。
• 本题作为大题第一题，计算量适中，重在考查公式提取的准确性和逻辑判断的严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形