2017-山东卷文-07 单-辅助角公式

本题导读

考查利用辅助角公式化简三角函数及求其最小正周期。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 函数 $y=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$ 的最小正周期为 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

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1. 利用辅助角公式将原函数化为 $y=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 的形式。
2. 根据正弦型函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 直接求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

原函数可化简为： $y=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。 其中角频率 $\omega =2$， 因此函数的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数最小正周期与辅助角公式。
2. 核心方法：化归为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 形式。
3. 避坑指南：周期仅与自变量的系数 $\omega$ 有关（$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$），与常数项及相位无关。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数性质常规考查题。
2. 结论推广: 形如 $y=a\sin \omega x+b\cos \omega x$ 的最小正周期统一为 $\frac{2\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-15 填-辅助角公式
• 2013-湖北卷理-04 单-辅助角公式
• 2014-上海卷理-12 填-辅助角公式