2017-山东卷文-12 填-基本不等式

本题导读

考查直线的截距式方程及利用基本不等式求代数式的最小值，属于经典高考题型。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ($a>0,b>0$) 过点 $(1,2)$，则 $2a+b$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将点 $(1,2)$ 代入直线方程，得到关于 $a,b$ 的约束关系：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$。
2. 构造代数式，利用基本不等式（“1”的代换法）求 $2a+b$ 的最小值。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

因为直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 过点 $(1,2)$， 所以 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$。 因为 $a>0,b>0$， 利用”1”的代换： $2a+b=(2a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)=2+\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}+2=4+\left(\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\right)$。 由基本不等式可得： $\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{4a}{b}}=4$。 因此： $2a+b\ge 4+4=8$。 当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}⟹b^2=4a^2⟹b=2a$，结合 $\frac{1}{a}+\frac{2}{2a}=1⟹a=2,b=4$ 时等号成立。 故答案为：$8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式求最值、“1”的妙用。
2. 核心方法：乘常数展开法（“1”的代换）。
3. 避坑指南：使用基本不等式时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件，等号必须能够取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考基本不等式与直线截距综合题。
2. 结论推广: 形如 $\frac{m}{a}+\frac{n}{b}=1$ 求 $pa+qb$ 的最小值，常采用 $(pa+qb)\left(\frac{m}{a}+\frac{n}{b}\right)$ 展开后用基本不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式