2017-山东卷文-19 解-数列综合

本题导读

本题考查等比数列通项的求法。核心在于由前两项和与积建立方程组求基本量，以及利用等差中项性质导出等差数列通项后用错位相减法求和。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_1+a_2=6$，$a_1{a}_2=a_3$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) $\{b_n\}$ 为各项非零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $S_{2n+1}=b_n{b}_{n+1}$，求数列 $\left\{\frac{b_n}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：设公比为 $q$（$q>0$），由 $a_1+a_2=6$ 与 $a_1{a}_2=a_3$ 建立关于 $a_1,q$ 的方程组，注意 $a_1{a}_2=a_1\cdot a_{1}q=a_1^{2}q$ 与 $a_3=a_1{q}^2$。
2. 第 (2) 问：由等差中项性质 $S_{2n+1}=(2n+1)b_{n+1}$，代入条件 $S_{2n+1}=b_n{b}_{n+1}$ 约去非零的 $b_{n+1}$，即得 $b_n=2n+1$；再写 $\frac{b_n}{a_n}=\frac{2n+1}{2^n}$，用错位相减法求 $T_n$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^n$

(2) $T_n=5-\frac{2n+5}{2^n}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，由各项均为正数知 $q>0$，且 $a_1>0$。 由 $a_1+a_2=6$ 得 $a_1(1+q)=6$； 由 $a_1{a}_2=a_3$ 得 $a_1\cdot a_{1}q=a_1{q}^2$，因 $a_1>0$，两边约去 $a_1$ 得 $a_1=q$。 代入第一式：$q(1+q)=6$，即 $q^2+q-6=0$，解得 $q=2$ 或 $q=-3$（舍去负值）。 故 $a_1=q=2$，所以 $a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n.$

(2) 设等差数列 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$。由等差数列前 $n$ 项和性质，$S_{2n+1}=(2n+1)b_{n+1}$（首尾配对，中项为 $b_{n+1}$）。 已知 $S_{2n+1}=b_n{b}_{n+1}$，故 $(2n+1)b_{n+1}=b_n{b}_{n+1}$。 因 $\{b_n\}$ 各项非零，$b_{n+1}\ne 0$，两边约去 $b_{n+1}$ 得 $b_n=2n+1(n=1,2,3,\dots ).$ 所以 $\frac{b_n}{a_n}=\frac{2n+1}{2^n}$，其前 $n$ 项和 $T_n=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{7}{8}+\cdots +\frac{2n+1}{2^n}.$ 用错位相减法：两边乘 $\frac{1}{2}$， $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\cdots +\frac{2n-1}{2^n}+\frac{2n+1}{2^{n+1}},$ 两式相减： $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{3}{2}+\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\cdots +\frac{2}{2^n}\right)-\frac{2n+1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2}+\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2n+1}{2^{n+1}},$ 其中 $\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\cdots +\frac{2}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$。 整理得 $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{5}{2}-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n+1}{2^{n+1}}=\frac{5}{2}-\frac{4}{2^{n+1}}-\frac{2n+1}{2^{n+1}}=\frac{5}{2}-\frac{2n+5}{2^{n+1}}$， 所以 $T_n=5-\frac{2n+5}{2^n}.$ （验证：$n=1$ 时 $T_1=5-\frac{7}{2}=\frac{3}{2}$，与首项 $\frac{b_1}{a_1}=\frac{3}{2}$ 相符。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列基本量运算；等差数列中项性质 $S_{2n+1}=(2n+1)b_{n+1}$；错位相减法。
2. 核心方法：基本量法 + 性质转化 + 错位相减，三步环环相扣。
3. 避坑指南：

• $a_1{a}_2=a_3$ 化简时约去 $a_1$ 需说明 $a_1>0$（题设”各项均为正数”正是为此铺垫）；
• $S_{2n+1}=b_n{b}_{n+1}$ 约去 $b_{n+1}$ 必须交代”各项非零”，这是命题人埋好的”约分许可证”；
• 错位相减最后一项符号极易出错，务必代 $n=1$ 验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：山东卷特色”数列 + 性质”复合题，前承基本量运算，后接错位相减求和。
2. 结论推广：$S_{2n+1}=b_n{b}_{n+1}$ 型条件的一般处理——奇数项和等于项数乘中项，约分后直接得通项。
3. 方法推广：$\frac{an+b}{q^n}$ 型数列（等差比乘积）一律用错位相减；若公比为 $-\frac{1}{2}$ 等负值，减法后括号内为公比 $-\frac{1}{2}$ 的等比和，注意符号。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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• 2015-福建卷文-17 解-数列综合
• 2020-江苏卷-20 解-数列综合