2017-山东卷理-07 单-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式，以及利用指数、对数函数单调性比较大小。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 若 $a>b>0$，且 $ab=1$，则下列不等式成立的是 ()

A. $a+\frac{1}{b}<\frac{b}{2^a}<{\log }_2(a+b)$　　　　B. $\frac{b}{2^a}<{\log }_2(a+b)<a+\frac{1}{b}$

C. $a+\frac{1}{b}<{\log }_2(a+b)<\frac{b}{2^a}$　　　　D. ${\log }_2(a+b)<a+\frac{1}{b}<\frac{b}{2^a}$

🔍【思路分析】

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1. 由 $ab=1$ 且 $a>b>0$，得 $a>1>b>0$。
2. 化简 $a+\frac{1}{b}=a+a=2a$；$\frac{b}{2^a}=\frac{1}{a\cdot 2^a}$。
3. 用特殊值（如 $a=2$）比较三者大小，确定正确排序。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $ab=1$ 且 $a>b>0$，得 $a>1$，$0<b<1$。 取特殊值 $a=2$，则 $b=\frac{1}{2}$。

• $a+\frac{1}{b}=2+2=4$；
• $\frac{b}{2^a}=\frac{\frac{1}{2}}{2^2}=\frac{1}{8}$；
• ${\log }_2(a+b)={\log }_2\frac{5}{2}\approx 1.32$。

所以 $\frac{b}{2^a}<{\log }_2(a+b)<a+\frac{1}{b}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式、函数单调性、大小比较。
2. 核心方法：特殊值法。
3. 避坑指南：由 $ab=1$ 得 $\frac{1}{b}=a$，是本题化简的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考不等式大小比较题。
2. 结论推广：比较含指数、对数的式子大小，常取特殊值或利用单调性放缩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-07 单-基本不等式
• 2013-新课标II卷理-24 解-基本不等式
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式