2017-山东卷理-12 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的模与夹角公式。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 已知 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3}\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$ 与 $\overrightarrow{e_1}+\lambda \overrightarrow{e_2}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，则实数 $\lambda$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用基底性质：由题意知 $|\overrightarrow{e_1}|=1$，$|\overrightarrow{e_2}|=1$，且 $\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=0$。
2. 计算数量积：设 $\vec{a}=\sqrt{3}\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$，$\vec{b}=\overrightarrow{e_1}+\lambda \overrightarrow{e_2}$。展开计算 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。
3. 计算向量模长：分别计算 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$。
4. 利用夹角公式建立方程：根据 $\cos 60^{\circ }=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ 列出方程。
5. 求解参数：解关于 $\lambda$ 的方程。由于题目要求夹角为 $60^{\circ }$，需保证数量积为正。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 【解析过程】 由已知得 $|\overrightarrow{e_1}{|}^2=1,|\overrightarrow{e_2}{|}^2=1,\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=0$。

1. 计算数量积： $(\sqrt{3}\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})\cdot (\overrightarrow{e_1}+\lambda \overrightarrow{e_2})=\sqrt{3}{\overrightarrow{e_1}}^2+\sqrt{3}\lambda \overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}-\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}-\lambda {\overrightarrow{e_2}}^2$ $=\sqrt{3}\times 1+0-0-\lambda \times 1=\sqrt{3}-\lambda$。

2. 计算向量的模： $|\sqrt{3}\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}|=\sqrt{(\sqrt{3}\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}{)}^2}=\sqrt{3{\overrightarrow{e_1}}^2-2\sqrt{3}\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}+{\overrightarrow{e_2}}^2}=\sqrt{3+1}=2$； $|\overrightarrow{e_1}+\lambda \overrightarrow{e_2}|=\sqrt{(\overrightarrow{e_1}+\lambda \overrightarrow{e_2}{)}^2}=\sqrt{{\overrightarrow{e_1}}^2+2\lambda \overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}+{\lambda }^2{\overrightarrow{e_2}}^2}=\sqrt{1+{\lambda }^2}$。

3. 建立方程： 由向量夹角公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos \theta$，得： $\sqrt{3}-\lambda =2\times \sqrt{1+{\lambda }^2}\times \cos 60^{\circ }$ 因为 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，所以： $\sqrt{3}-\lambda =\sqrt{1+{\lambda }^2}$

4. 解方程： 两边平方得：$3-2\sqrt{3}\lambda +{\lambda }^2=1+{\lambda }^2$ $-2\sqrt{3}\lambda =-2$ $\lambda =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 验证知 $\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}>0$，符合夹角为锐角（$60^{\circ }$）的要求。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 垂直与模的转化：在基底运算中，${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$（当 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 时）是最常用的化简手段。
• 坐标化思想：本题也可以建立直角坐标系，设 $\overrightarrow{e_1}=(1,0),\overrightarrow{e_2}=(0,1)$，则向量分别为 $(\sqrt{3},-1)$ 和 $(1,\lambda )$，利用坐标公式计算更加直观。
• 在解方程过程中，两边平方可能会产生增根（比如使 $\cos \theta =-1/2$ 的根），因此最后一步必须验证数量积 $\sqrt{3}-\lambda$ 的符号是否与 $\cos 60^{\circ }$ 一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若将条件改为“$\sqrt{3}\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$ 与 $\overrightarrow{e_1}+\lambda \overrightarrow{e_2}$ 互相垂直”，则 $\lambda$ 的值为何？（答案：$\lambda =\sqrt{3}$）。
2. 知识关联：向量夹角问题常与三角形形状判断、解析几何中的直线斜率结合。掌握数量积的几何意义（投影）能更深层次理解公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-14 填-向量数量积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2010-天津卷文-09 单-向量数量积