2017-山东卷理-13 填-三视图

本题导读

本题考查三视图，以及空间几何体的体积计算。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 由一个长方体和两个 $\frac{1}{4}$ 圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体结构：

• 观察俯视图：中间是一个 $2\times 1$ 的矩形，两端各接一个半径为 1 的 $1/4$ 圆。
• 观察正视图和侧视图：几何体的高度恒为 1。
• 结论：该几何体是一个底面积为“矩形 + 两个 $1/4$ 圆”、高为 1 的柱体。

2. 分割计算底面积：

• 中间矩形面积 $S_1=2\times 1=2$。
• 两个 $\frac{1}{4}$ 圆面积之和 $S_2=2\times (\frac{1}{4}\pi \times 1^2)=\frac{\pi }{2}$。

3. 计算总体积：

• 利用柱体体积公式 $V=S_{\text{底}}\cdot h$，其中 $h=1$。

✅【答案】

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$2+\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $2+\frac{\pi }{2}$ 【解析过程】 由三视图可知，该几何体是一个高度为 1 的组合柱体。 其底面（即俯视图所示图形）由一个矩形和两个扇形组成：

1. 长方体部分的体积： 底面矩形的长为 2，宽为 1，高为 1。 $V_{\text{长方体}}=2\times 1\times 1=2$。
2. 两个 $\frac{1}{4}$ 圆柱部分的体积： 底面扇形的半径 $r=1$，高度 $h=1$。 两个 $\frac{1}{4}$ 圆柱可以拼成一个半圆柱。 $V_{\text{圆柱部分}}=2\times \left(\frac{1}{4}\pi \times 1^2\times 1\right)=\frac{\pi }{2}$。
3. 总体积： $V=V_{\text{长方体}}+V_{\text{圆柱部分}}=2+\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 三视图口诀：正俯一样长（长为 $1+2+1=4$），正侧一样高（高为 $1$），俯侧一样宽（宽为 $1$）。
• 几何体还原：俯视图反映底面轮廓，正视图反映侧面高度。看到俯视图有圆弧，通常对应圆柱或球体的一部分。
• 此类题目切记不要漏掉任何一个组件。在本题中，两个 $1/4$ 圆柱合并为半圆柱可以简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目要求该几何体的表面积，则需要计算底面周长乘以高，再加上两个底面的面积。
2. 知识关联：三视图问题是每年高考的必考点。如果三视图中出现三角形，则可能涉及棱锥或圆锥。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-09 单-三视图
• 2014-新课标I卷文-08 单-三视图
• 2014-湖北卷文-07 单-三视图