2017-山东卷理-14 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及抛物线的定义。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^2=2py(p>0)$ 交于 $A,B$ 两点.若 $|AF|+|BF|=4|OF|$，则该双曲线的渐近线方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化抛物线条件：

• 抛物线 $x^2=2py$ 的焦点为 $F(0,\frac{p}{2})$，准线为 $y=-\frac{p}{2}$。
• 根据抛物线定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，故 $|AF|=y_A+\frac{p}{2}$，$|BF|=y_B+\frac{p}{2}$。
• 坐标原点 $O$ 到焦点 $F$ 的距离 $|OF|=\frac{p}{2}$。
• 代入条件 $|AF|+|BF|=4|OF|$ 可得 $y_A+y_B=p$。

2. 联立方程建立联系：

• 将 $x^2=2py$ 代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
• 整理得到关于 $y$ 的一元二次方程。

3. 利用韦达定理：

• 根据 $y_A+y_B=p$ 建立关于 $a,b,p$ 的等式，消去 $p$ 得到 $a$ 与 $b$ 的数量关系。

4. 确定渐近线：

• 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

✅【答案】

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$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$ 【解析过程】

1. 利用抛物线定义转化距离： 由题意，抛物线 $x^2=2py$ 的焦点 $F(0,\frac{p}{2})$，则 $|OF|=\frac{p}{2}$。 设 $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$，根据抛物线焦半径公式： $|AF|=y_A+\frac{p}{2},|BF|=y_B+\frac{p}{2}$。 由 $|AF|+|BF|=4|OF|$ 得： $(y_A+\frac{p}{2})+(y_B+\frac{p}{2})=4\times \frac{p}{2}\Rightarrow y_A+y_B+p=2p$ 即 $y_A+y_B=p$ —— ①

2. 联立方程组： 将 $x^2=2py$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 得： $\frac{2py}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow 2p{b}^{2}y-a^2{y}^2=a^2{b}^2$ 整理得：$a^2{y}^2-2p{b}^{2}y+a^2{b}^2=0$ 由韦达定理得：$y_A+y_B=\frac{2p{b}^2}{a^2}$ —— ②

3. 求解 $a,b$ 关系： 由 ①② 得：$\frac{2p{b}^2}{a^2}=p$。 因为 $p>0$，所以 $a^2=2b^2$，即 $a=\sqrt{2}b$。

4. 求渐近线方程： 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 将 $a=\sqrt{2}b$ 代入得： $y=\pm \frac{b}{\sqrt{2}b}x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义是核心：涉及抛物线上的点到焦点距离时，第一时间联想“点到焦点距离 = 点到准线距离”，这是简化问题的关键。
• 渐近线位置：焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$；若焦点在 $y$ 轴上，则为 $y=\pm \frac{a}{b}x$。
• 本题虽然涉及两个曲线，但通过抛物线定义巧妙地将几何距离转为了纵坐标之和，避开了复杂的交点坐标计算，体现了“多想少算”的解题原则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $|AF|+|BF|=3|OF|$，渐近线方程会如何变化？
2. 知识关联：如果题目涉及双曲线的焦点，则需用到 $c^2=a^2+b^2$。本题仅涉及渐近线，只需找 $a,b$ 比例即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线