2017-山东卷理-19 解-数列综合

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于待定系数法、错位相减法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 已知 $\{x_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $x_1+x_2=3$，$x_3-x_2=2$.

(1)求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式；

(2)如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，依次连接点 $P_1(x_1,1)$，$P_2(x_2,2)$，$\dots$，$P_{n+1}(x_{n+1},n+1)$ 得到折线 $P_1{P}_2\dots P_{n+1}$，求由该折线与直线 $y=0$，$x=x_1$，$x=x_{n+1}$ 所围成的区域的面积 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（基本量计算）：

• 设首项为 $x_1$，公比为 $q$（$q>0$）。
• 根据已知条件列出关于 $x_1$ 和 $q$ 的方程组：$\{\begin{array}{l}{x}_1(1+q)=3\\ x_1(q^2-q)=2\end{array}$。
• 通过比值消元求解 $q$ 和 $x_1$，进而写出通项公式。

2. 第二问（面积转化与求和）：

• 几何分析：所围成的区域是由 $n$ 个直角梯形组成的。每个梯形的四个顶点分别为 $(x_k,0)$，$(x_{k+1},0)$，$(x_{k+1},k+1)$，$(x_k,k)$。
• 单项面积：第 $k$ 个梯形的上底为 $k$，下底为 $k+1$，高为 $|x_{k+1}-x_k|$。
• 求和模型：总面积 $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{k+(k+1)}{2}|x_{k+1}-x_k|$。
• 算法选择：代入 $x_n$ 的通项后，发现通项呈“等差 $\times$ 等比”的形式，需使用错位相减法求和。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)设等比数列 $\{x_n\}$ 的公比为 $q$。由题意知 $x_n>0$，故 $q>0$。 根据已知条件： $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_{1}q=3\\ x_1{q}^2-x_{1}q=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{x}_1(1+q)=3& \text{—— (1)}\\ x_{1}q(q-1)=2& \text{—— (2)}\end{array}$ 由 ②/① 得：$\frac{q(q-1)}{1+q}=\frac{2}{3}$ 整理得：$3q^2-3q=2+2q\Rightarrow 3q^2-5q-2=0$ 解得 $q=2$ 或 $q=-\frac{1}{3}$（舍去）。 将 $q=2$ 代入 ① 得 $3x_1=3$，解得 $x_1=1$。 所以数列 $\{x_n\}$ 的通项公式为 $x_n=2^{n-1}$。

(2)由题意，折线段 $P_k{P}_{k+1}$ 与 $x$ 轴围成的图形是直角梯形。 点 $P_k(2^{k-1},k)$，$P_{k+1}(2^k,k+1)$。 该梯形的高 $h_k=x_{k+1}-x_k=2^k-2^{k-1}=2^{k-1}$。 第 $k$ 个梯形的面积 $W_k=\frac{k+(k+1)}{2}\cdot 2^{k-1}=\frac{2k+1}{2}\cdot 2^{k-1}$。 则总面积 $S_n={\sum }_{k=1}^n\frac{2k+1}{2}\cdot 2^{k-1}=\frac{1}{2}{\sum }_{k=1}^n(2k+1)2^{k-1}$。 设 $T_n={\sum }_{k=1}^n(2k+1)2^{k-1}=3\cdot 2^0+5\cdot 2^1+7\cdot 2^2+\cdots +(2n+1)2^{n-1}$ —— ③ 则 $2T_n=3\cdot 2^1+5\cdot 2^2+\cdots +(2n-1)2^{n-1}+(2n+1)2^n$ —— ④ ③ - ④ 得： $-T_n=3+(2\cdot 2^1+2\cdot 2^2+\cdots +2\cdot 2^{n-1})-(2n+1)2^n$ $-T_n=3+2\cdot \frac{2(1-2^{n-1})}{1-2}-(2n+1)2^n$ $-T_n=3+4(2^{n-1}-1)-(2n+1)2^n$ $-T_n=3+2\cdot 2^n-4-(2n+1)2^n$ $-T_n=(2-2n-1)2^n-1=(1-2n)2^n-1$ 所以 $T_n=(2n-1)2^n+1$。 故总面积 $S_n=\frac{1}{2}{T}_n=(2n-1)2^{n-1}+\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何与代数的跨界：利用坐标关系建立梯形面积模型是解题的第一道关。
• 错位相减的规范性：
• 注意求和项数：中间等比数列求和的部分项数通常是 $n-1$。
• 符号处理：减法过程中的括号及负号极易出错。
• 在处理 $S_n$ 时，可以先提取常数因子 $1/2$，单独处理括号内的求和。最后代入 $n=1,2$ 进行简单验证（如 $n=1$ 时，$S_1=W_1=\frac{3}{2}$，代入公式 $1\cdot 2^0+0.5=1.5$ 成立）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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